User:Zelenka/Statistics/exercises 30.10.2007
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;2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird. | ;2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird. | ||
:(a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1. | :(a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1. | ||
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:(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt. | :(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt. | ||
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:(c) Ermitteln Sie allgemein die Wahrscheinlichkeit mit der man öfter als x Mal werfen muß, bis zum ersten Mal Kopf kommt. | :(c) Ermitteln Sie allgemein die Wahrscheinlichkeit mit der man öfter als x Mal werfen muß, bis zum ersten Mal Kopf kommt. | ||
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:(d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R. | :(d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R. | ||
Revision as of 15:22, 23 October 2007
- 1.) A, B, C seien drei Ereignisse. Ermitteln Sie möglichst einfache Ausdrücke für die zusammengesetzten Ereignisse, daß von A, B, C
(a) nur A eintritt; W(A) = |A| / |M| (f) keines eintritt; W(A) = 1 - (|A| / |M|) (b) A und C, aber nicht B eintritt; W = W(A)*W(C)*(1-W(B)) (g) höchstens eines eintritt; W = (c) zumindest eines eintritt; W = 1-((1-W(A))*(1-W(B))*(1-W(C))) (h) höchstens zwei eintreten; W = (d) zumindest zwei eintreten; W = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C) (i) genau zwei eintreten; W = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) (e) alle drei eintreten; W = (A ∧ B ∧ C) (j) höchstens drei eintreten. W =
- 2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird.
- (a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1.
- M = { 0, 1 }
- E = { 0, 1 }
- (b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt.
- W =
- (c) Ermitteln Sie allgemein die Wahrscheinlichkeit mit der man öfter als x Mal werfen muß, bis zum ersten Mal Kopf kommt.
- W =
- (d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R.
- 3.) Der Merkmalraum M bestehe aus allen Punkten, die in einem Quadrat mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) liegen. Es sei W(A) = R RA dx dy.
- (a) Zeigen Sie, daß auf diese Weise eine W–Verteilung definiert wird. (*Wie lautet ein passendes Ereignisfeld?)
- (b) Bestimmen Sie W(A1) für A1 = {(x, y) : 0 < x < y < 1}.
- (c) Bestimmen Sie W(A2) für A2 = {(x, y) : 0 < x = y < 1}.
- (d) Bestimmen Sie W(A3) für A3 = {(x, y) : 0 < x/2 � y � 3x/2 < 1}.
- 4. Ai, i = 1, . . . , n, seien Ereignisse aus aus einem Ereignisfeld.
- (a) Zeigen Sie die Boole’sche Ungleichung:
- W(n∪i=1Ai) ≤ n∑Xi=1 W(Ai)
- (b) Zeigen Sie die Bonferroni’sche Ungleichung:
- W(n∩i=1Ai) ≥ 1- n∑Xi=1 W(Ai)
- 5.) Ein neues Computervirus kann in ein System durch eine E-Mail oder durch das Internet eindringen. Es besteht eine Chance von 30%, daß man das Virus durch eine E-Mail, und eine 40% Chance, daß man es durch das Internet bekommt. Außerdem beträgt die Chance 15%, daß es simultan auf beiden Wegen eindringt. Wie groß ist unter diesen Vorgaben die Wahrscheinlichkeit, daß das Virus in das System gar nicht eindringt?
- 6.) Formulieren und beweisen Sie das Additionsthorem für drei Ereignisse A, B, C. (Hinweis
- Die Gültigkeit des Theorems für zwei Ereignisse darf vorausgesetzt werden.)
- 7.) Die 8 Titel auf einer CD werden in zufälliger Reihenfolge abgespielt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dabei kein Titel an der auf der CD angegebenen Stelle wiedergegeben? (Hinweis
- Verwenden Sie das Additionstheorem mit Ai = Der i–te Titel wird an i–ter Stelle wiedergegeben.)