User:Zelenka/Statistics/exercises 30.10.2007
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| - | ||(d) zumindest zwei eintreten; ||<nowiki>W = (A & | + | ||(d) zumindest zwei eintreten; ||<nowiki>W = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)</nowiki> |
| - | ||(i) genau zwei eintreten; ||<nowiki>W = | + | ||(i) genau zwei eintreten; ||<nowiki>W = A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) \ (A ∩ B ∩ C)</nowiki> |
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| - | ||(e) alle drei eintreten; ||<nowiki>W = (A & | + | ||(e) alle drei eintreten; ||<nowiki>W = (A ∩ B ∩ C)</nowiki> |
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;2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird. | ;2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird. | ||
:(a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1. | :(a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1. | ||
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:(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt. | :(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt. | ||
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:(d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R. | :(d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R. | ||
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| + | WirfKopf <- function() { | ||
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| + | xmax <- 1:15; | ||
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| + | # bilde einen vektor mit xmax elementen | ||
| + | # und setze alle werte auf 0 | ||
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| + | # a = anzahl der würfe bis kopf kommt | ||
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| + | # erhöhe die Anzahl in x[AnzahlBisKopf] um 1 | ||
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| + | # Ausgabe der abs. Häufigkeiten der Würfe bis Kopf | ||
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| + | # Berechne die rel Häufigkeiten für x[AnzahlBisKopf] | ||
| + | x <- x / length(n); | ||
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| + | plot(x, type="l", col="red", main="Wahrscheinlichkeitsverteilung für Anzahl der Würfe bis Kopf kommt"); | ||
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Revision as of 10:43, 30 October 2007
- 1.) A, B, C seien drei Ereignisse. Ermitteln Sie möglichst einfache Ausdrücke für die zusammengesetzten Ereignisse, daß von A, B, C
(a) nur A eintritt; W = A \ (B ∪ C) (f) keines eintritt; W = M \ ( A ∪ B ∪ C) (b) A und C, aber nicht B eintritt; W = (A ∩ C) \ B (g) höchstens eines eintritt; W = M \ (A ∩ B ∩ C) (c) zumindest eines eintritt; W = A ∪ B ∪ C (h) höchstens zwei eintreten; W = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∩ (B ∪ C) (d) zumindest zwei eintreten; W = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (i) genau zwei eintreten; W = A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) \ (A ∩ B ∩ C) (e) alle drei eintreten; W = (A ∩ B ∩ C) (j) höchstens drei eintreten. W = M
- 2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird.
- (a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1.
- Merkmalraum
- M = { 0, 1 }
- E = { 0, 1 }
- (b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt.
- W =
- (c) Ermitteln Sie allgemein die Wahrscheinlichkeit mit der man öfter als x Mal werfen muß, bis zum ersten Mal Kopf kommt.
- W =
- (d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R.
# wirf eine münze bis kopf kommt
WirfKopf <- function() {
result<-sample(0:1,1)
n<-1
while (result != 1) {
n<-n+1;
result<-sample(0:1,1);
}
return(n) }
# n versuche
n <- 1:10000;
# vektor für die maximalen würfe bis Kopf kommt
# (Klasseneinteilung)
xmax <- 1:15;
x <- c();
# bilde einen vektor mit xmax elementen
# und setze alle werte auf 0
for (i in xmax) {
x <- c(x, 0);
}
for (i in n) {
# a = anzahl der würfe bis kopf kommt
a<-WirfKopf()
# erhöhe die Anzahl in x[AnzahlBisKopf] um 1
x[a] <- x[a] + 1;
}
# Ausgabe der abs. Häufigkeiten der Würfe bis Kopf
print(x)
# Berechne die rel Häufigkeiten für x[AnzahlBisKopf]
x <- x / length(n);
print(x)
plot(x, type="l", col="red", main="Wahrscheinlichkeitsverteilung für Anzahl der Würfe bis Kopf kommt");
[1] 5016 2453 1305 615 297 155 81 32 23 12 6 2 2 1 0
[1] 0.5016 0.2453 0.1305 0.0615 0.0297 0.0155 0.0081 0.0032 0.0023 0.0012 0.0006 0.0002 [13] 0.0002 0.0001 0.0000
- 3.) Der Merkmalraum M bestehe aus allen Punkten, die in einem Quadrat mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) liegen. Es sei W(A) = R RA dx dy.
- (a) Zeigen Sie, daß auf diese Weise eine W–Verteilung definiert wird. (*Wie lautet ein passendes Ereignisfeld?)
- (b) Bestimmen Sie W(A1) für A1 = {(x, y) : 0 < x < y < 1}.
- (c) Bestimmen Sie W(A2) für A2 = {(x, y) : 0 < x = y < 1}.
- (d) Bestimmen Sie W(A3) für A3 = {(x, y) : 0 < x/2 � y � 3x/2 < 1}.
- 4. Ai, i = 1, . . . , n, seien Ereignisse aus aus einem Ereignisfeld.
- (a) Zeigen Sie die Boole’sche Ungleichung:
- W(n∪i=1Ai) ≤ n∑Xi=1 W(Ai)
- (b) Zeigen Sie die Bonferroni’sche Ungleichung:
- W(n∩i=1Ai) ≥ 1- n∑Xi=1 W(Ai)
- 5.) Ein neues Computervirus kann in ein System durch eine E-Mail oder durch das Internet eindringen. Es besteht eine Chance von 30%, daß man das Virus durch eine E-Mail, und eine 40% Chance, daß man es durch das Internet bekommt. Außerdem beträgt die Chance 15%, daß es simultan auf beiden Wegen eindringt. Wie groß ist unter diesen Vorgaben die Wahrscheinlichkeit, daß das Virus in das System gar nicht eindringt?
- 6.) Formulieren und beweisen Sie das Additionsthorem für drei Ereignisse A, B, C. (Hinweis
- Die Gültigkeit des Theorems für zwei Ereignisse darf vorausgesetzt werden.)
- 7.) Die 8 Titel auf einer CD werden in zufälliger Reihenfolge abgespielt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dabei kein Titel an der auf der CD angegebenen Stelle wiedergegeben? (Hinweis
- Verwenden Sie das Additionstheorem mit Ai = Der i–te Titel wird an i–ter Stelle wiedergegeben.)