User:Zelenka/Statistics/exercises 9.10.2007

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Revision as of 16:33, 24 May 2008

9.10.2007

2. R-script

Im WS 2005 und 2006 verteilten sich die Inskriptionszahlen der Studienrichtungen, für die die VO/UE Statistik u. Wahrscheinlichkeitstheorie anrechenbar bzw. verpflichtend ist, wie unten angegeben (Quelle: TUWIEN). Erstellen Sie vergleichende Balken– und Kreisdiagramme für die Gesamtzahlen (oder für Teilzahlen). Gibt es „signifikante“ Veränderungen?

Nehmen Sie (z.B.) das folgende R–Script. Informieren Sie sich über die dabei verwendeten Funktionen und deren Argumente (help(name)). R-Script:

x2005 <- c(769,94,1068,514,1266,786)
x2006 <- c(736,92,1253,583,1308,845)
Studien <- c("Wirtschafts-\ninformatik","Data Engineering\n& Statistics",
"Medien-\ninformatik","Medizinische\nInformatik",
"Software & Information\nEngineering","Technische\nInformatik")
names(x2005) <- names(x2006) <- Studien
par(mfrow=c(2,2))
pie(x2005, radius=0.9, main="Inskribierte WS 2005", cex=0.8)
barplot(sort(x2005, decreasing=TRUE)/sum(x2005), axis.lty=1, cex.names=0.7,
col="orange2", main="Inskribierte WS 2005")
pie(x2006, radius=0.9, main="Inskribierte WS 2006", cex=0.8)
barplot(sort(x2006, decreasing=TRUE)/sum(x2006), axis.lty=1, cex.names=0.7,
col="orange2", main="Inskribierte WS 2006")
par(mfrow=c(1,1))

3.

Ist x1, . . . , xL eine Binärfolge der Länge L, so heißt die Teilfolge x_i + 1,...,x_i + k ein Lauf (engl. run) der

Länge k, falls:

(1) i = 0 oder

(2) x_i + 1 = = x_i + k

(3) i + k = L oder xi + k6 = xi + k + 1

Ist beispielsweise L = 10 und lautet die Binärfolge:

0 0 1 0 0 0 1 1 0 0

so gibt es 5 Läufe mit den Längen 2, 1, 3, 2, 2.

Das folgende R–Script bestimmt die Zahl der Läufe von N simulierten Binärfolgen (mit gleicher Wahrscheinlichkeit für 0 und 1) der Länge L, ermittelt eine Häufigkeitstabelle und stellt das Ergebnis in Form eines Stabdiagramms und einer Summenkurve dar. Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten für N und L und kommentieren Sie die Ergebnisse. R–Script:

#Bestimmung der Zahl der Läufe für Binärfolge x
RunNumber <- function(x) {
n <- length(x)
z <- x
z[n+1] <- ifelse(x[n]==0, 1, 0)
y <- abs(diff(z))
Index1 <- c(1:n)
Index <- c(0,Index1[y==1])
Number <- length(diff(Index))
return(Number) }

#Simulation
N <- 500
L <- 60
x <- matrix(rbinom(N*L, 1, 1/2), nrow=N)
NumberRuns <- apply(x, 1, RunNumber)

#Häufigkeitstabelle
tab1 <- table(NumberRuns)
mr <- as.numeric(names(tab1))
n1 <- min(mr)
n2 <- max(mr)
nk <- numeric(n2-n1+1)
nk[mr-n1+1] <- tab1
names(nk) <- n1:n2
par(mfrow=c(2,1))

#Stabdiagramm
barplot(nk/N, axis.lty=1, space=1, xlab="Anzahl der Läufe",
main=paste("L = ", L, " Nsim = ", N), col="orange2")

#Summenkurve
plot(ecdf(NumberRuns), verticals=TRUE, do.points=FALSE,
xlab="Anzahl der Läufe", ylab="Kum. rel. Häufigk.",
main="Summenkurve")
par(mfrow=c(1,1))

4.

[Fortsetzung von Aufgabe 3] Neben der Anzahl der Läufe ist auch die Länge des längsten Laufs von Interesse. Modifizieren Sie das obige Script so, daß zu jeder simulierten Binärfolge die Länge des längsten Laufs bestimmt, die entsprechende Häufigkeitstabelle ermittelt und das Ergebnis in Form eines Stabdiagramms und einer Summenkurve dargestellt wird.

Hinweis: Nur ganz wenige Änderungen sind erforderlich. In der Funktion muß nur eine Zeile verändert werden (max statt length in der vorletzten Zeile). Der Rest kann nahezu unverändert übernommen werden.

#Bestimmung der Zahl der Läufe für Binärfolge x
RunNumber <- function(x) {
n <- length(x)
z <- x
z[n+1] <- ifelse(x[n]==0, 1, 0)
y <- abs(diff(z))
Index1 <- c(1:n)
Index <- c(0,Index1[y==1])
Number <- max(diff(Index))
return(Number) }

#Simulation
N <- 500
L <- 60
x <- matrix(rbinom(N*L, 1, 1/2), nrow=N)
NumberRuns <- apply(x, 1, RunNumber)

#Häufigkeitstabelle
tab1 <- table(NumberRuns)
mr <- as.numeric(names(tab1))
n1 <- min(mr)
n2 <- max(mr)
nk <- numeric(n2-n1+1)
nk[mr-n1+1] <- tab1
names(nk) <- n1:n2
par(mfrow=c(2,1))

#Stabdiagramm
barplot(nk/N, axis.lty=1, space=1, xlab="Anzahl der Läufe",
main=paste("L = ", L, " Nsim = ", N), col="orange2")

#Summenkurve
plot(ecdf(NumberRuns), verticals=TRUE, do.points=FALSE,
xlab="Anzahl der Läufe", ylab="Kum. rel. Häufigk.",
main="Summenkurve")
par(mfrow=c(1,1))

5. Um die Effizienz eines Prozessors für eine bestimmte Art von Aufgaben beurteilen zu können, wurden die

CPU–Zeiten (Sekunden) für n = 30 zufällig ausgewählte Jobs gemessen (cpu.dat):

70 36 43 69 82 48 34 62 35 15
59 139 46 37 42 30 55 56 36 82
38 89 54 25 35 24 22 9 56 19

(a) Ermitteln Sie eine Häufigkeitstabelle. Nehmen Sie dazu äquidistante Klassen der Breite 14 [Sekunden], beginnend bei 0. (b) Erstellen Sie auf Basis von (a) das Histogramm der relativen Klassenhäufigkeiten. (c) Zeichnen Sie auf Basis der gewählten Klasseneinteilung das Summenpolygon.

(d) Wie beurteilen Sie die größte Beobachtung 139 ?

Der Wert 139 ist ein "Ausreisser". Dieser Wert muss daher genauer untersucht werden, ob er durch einen Ablesefehler entstanden ist, die Versuchsbedingungen verändert waren oder tatsächlich so grosse Streuung möglich ist.

R–Script:

cpu <- read.table("cpu.dat", header=TRUE)
x <- cpu$x
n <- length(x)

#Histogramm
breaks <- seq(0,140,by=14)
m <- length(breaks)
x.hist <- hist(x, breaks=breaks, prob=TRUE, col="orange2",
xlab="Sekunden", main="Histogramm von cpu.dat")
(freq <- x.hist$counts)

#Summenpolygon
plot(breaks,c(0,cumsum(freq)/n), type="o", lty=1, pch=19, lwd=2,
col="orange2", xlab="Sekunden", ylab="Kum. rel. Häufigkeiten",
main="Summenpolygon")
abline(h=c(0,1), lty=2)

6. Der folgende Datensatz enthält Messungen (in Ohm) von 80 Widerständen (resistor.dat)

74.4 77.3 77.4 74.3 69.6 71.3 72.5 77.4 73.5 76.1
75.6 75.5 73.3 74.3 77.2 75.1 75.1 79.3 75.8 77.1
76.9 75.8 73.3 74.8 74.7 76.4 78.7 78.5 77.4 74.0
73.2 72.3 76.9 76.2 76.3 74.1 77.0 74.1 72.5 72.7
73.6 78.4 77.7 71.6 73.2 76.4 71.8 78.1 75.6 74.0
75.0 77.5 76.4 72.5 72.8 71.8 73.1 75.0 77.7 77.9
76.2 75.0 76.4 76.3 73.1 74.7 76.0 75.6 75.3 79.6
74.6 77.0 72.1 75.2 75.7 74.7 73.6 75.2 76.6 74.6

(a) Ermitteln und zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion. Hinweis: Nehmen Sie die Funktion ecdf() (= empirical cumulative distribution function).

(b) Stellen Sie die Verteilung der relativen Klassenhäufigkeiten in Form eines Histogramms dar. Nehmen Sie dazu beispielsweise die folgende äquidistante Klasseneinteilung:

[69.55, 70.65], (70.65, 71.75], . . . , (79.45, 80.55] Wählen Sie die Darstellung so, daß die Fläche unter dem Histogramm gleich 1 ist (Dichtehistogramm oder flächentreues Histogramm genannt).

(c) Zeichnen Sie auf Basis der obigen Klasseneinteilung das Summenpolygon.

(d) Nehmen Sie andere Klasseneinteilungen und kommentieren Sie die Ergebnisse. Ändert sich der Eindruck hinsichtlich der Form der Verteilung?

Wenn man die Klasseneinteilung zu fein macht, werden die Balken unterbrochen, das Diagramm "ausgefranst".

7. Ein Netzwerkprovider untersucht die Belastung seines Netzwerks. Dazu wird an 50 Stellen im Netz die

Anzahl (in 1000 Personen) der gleichzeitigen User bestimmt (concurrent.dat):

17.2 22.1 18.5 17.2 18.6 14.8 21.7 15.8 16.3 22.8
24.1 13.3 16.2 17.5 19.0 23.9 14.8 22.2 21.7 20.7
13.5 15.8 13.1 16.1 21.9 23.9 19.3 12.0 19.9 19.4
15.4 16.7 19.5 16.2 16.9 17.1 20.2 13.4 19.8 17.7
19.7 18.7 17.6 15.9 15.2 17.1 15.0 18.8 21.6 11.9

(a) Ermitteln und zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion.

(b) Stellen Sie die Verteilung der relativen Klassenhäufigkeiten in Form eines Histogramms dar.

8. Betrachten Sie die folgenden drei Datensätze (threesets.dat)

(1) 19 24 12 19 18 24 8 5 9 20 13 11 1 12 11 10 22 21 7 16 15 15 26 16 1 13 21 21 20 19

(2) 17 24 21 22 26 22 19 21 23 11 19 14 23 25 26 15 17 26 21 18 19 21 24 18 16 20 21 20 23 33

(3) 56 52 13 34 33 18 44 41 48 75 24 19 35 27 46 62 71 24 66 94 40 18 15 39 53 23 41 78 15 35

(a) Zeichnen Sie zu jedem Datensatz ein Histogramm und bestimmen Sie, ob die Verteilung rechtsschief, linksschief oder (annähernd) symmetrisch ist.

(b) Berechnen Sie zu jedem Datensatz den Mittelwert und den Median. Unterstützen diese Werte die Ergebnisse von (a)? Wie?