User:Zelenka/Statistics/exercises 30.10.2007

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Latest revision as of 13:13, 30 October 2007

1.) A, B, C seien drei Ereignisse. Ermitteln Sie möglichst einfache Ausdrücke für die zusammengesetzten Ereignisse, daß von A, B, C

(a) nur A eintritt;	W = A \ (B ∪ C)	(f) keines eintritt;	W = M \ ( A ∪ B ∪ C)
(b) A und C, aber nicht B eintritt;	W = (A ∩ C) \ B	(g) höchstens eines eintritt;	W = M \ (A ∩ B ∩ C)
(c) zumindest eines eintritt;	W = A ∪ B ∪ C	(h) höchstens zwei eintreten;	W = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∩ (B ∪ C)
(d) zumindest zwei eintreten;	W = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)	(i) genau zwei eintreten;	W = A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) \ (A ∩ B ∩ C)
(e) alle drei eintreten;	W = (A ∩ B ∩ C)	(j) höchstens drei eintreten.	W = M

2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird.

(a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1.

Merkmalraum: Die Elemente des Merkmalraums M sind (K = 'Kopf', Z = 'Zahl') . M = { K, ZK, ZZK, ZZZK, ... }; W(K) = 1/2; W(ZK) = 1/2 * 1/2 = 1/4; W(ZZK) = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8; W(ZⁿK) = (1/2)ⁿ⁺¹; Für einen Merkmalraum gilt: Σ W(Ai) = 1; Die Elemente W(ZⁿK) stellen eine geometrische Reihe dar, für die bei q < 1 der Grenzwert der Summe gilt: a₀ * (1/(1-q)); W(M) = 1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + ... + (1/2)ⁿ; W(M) = (1/2) * (1 + 1/2 + (1/2)² + ... + (1/2)⁽ⁿ⁻¹⁾) = (1/2) * (1/(1 − 1/2)) = 1/2 * 2/1 = 1
Ereignisfeld: theoretisch ist das Ereignisfeld unbegrenzt. In diskreten E = P(M)

Die W-Verteilung ordnet jedem dieser Elemente die folgenden Wahrscheinlichkeiten zu: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...

(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt.

W = 1/2 + (1/2)³ + (1/2)⁵ + ... + (1/2)²ⁿ⁺¹

W(M) = (1/2) * (1/(1 − 1/4)) = 1/2 * 4/3 = 4/6 = 2/3

(c) Ermitteln Sie allgemein die Wahrscheinlichkeit mit der man öfter als x Mal werfen muß, bis zum ersten Mal Kopf kommt.

W(öfter als x) = 1 - (Σ W(xⁿ))

(d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R.

# wirf eine münze bis kopf kommt
WirfKopf <- function() {
result<-sample(0:1,1)
n<-1
while (result != 1) { 
  n<-n+1;
  result<-sample(0:1,1);
  }
return(n) }

# n versuche
n <- 1:10000;
# vektor für die maximalen würfe bis Kopf kommt
# (Klasseneinteilung) 
xmax <- 1:15;
x <- c();
# bilde einen vektor mit xmax elementen
# und setze alle werte auf 0 
for (i in xmax) {
x <- c(x, 0);
}
for (i in n) {
# a = anzahl der würfe bis kopf kommt
a<-WirfKopf()
# erhöhe die Anzahl in x[AnzahlBisKopf] um 1
x[a] <- x[a] + 1;
}
# Ausgabe der abs. Häufigkeiten der Würfe bis Kopf
print(x)

# Berechne die rel Häufigkeiten für x[AnzahlBisKopf]
x <- x / length(n);
print(x)

plot(x, type="l", col="red", main="Wahrscheinlichkeitsverteilung für Anzahl der Würfe bis Kopf kommt");

 [1] 5016 2453 1305  615  297  155   81   32   23   12    6    2    2    1    0

 [1] 0.5016 0.2453 0.1305 0.0615 0.0297 0.0155 0.0081 0.0032 0.0023 0.0012 0.0006 0.0002
 [13] 0.0002 0.0001 0.0000

3.) Der Merkmalraum M bestehe aus allen Punkten, die in einem Quadrat mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) liegen. Es sei W(A) = R RA dx dy.: (a) Zeigen Sie, daß auf diese Weise eine W–Verteilung definiert wird. (*Wie lautet ein passendes Ereignisfeld?); (b) Bestimmen Sie W(A1) für A1 = {(x, y) : 0 < x < y < 1}.; (c) Bestimmen Sie W(A2) für A2 = {(x, y) : 0 < x = y < 1}.; (d) Bestimmen Sie W(A3) für A3 = {(x, y) : 0 < x/2 � y � 3x/2 < 1}.

4. Ai, i = 1, . . . , n, seien Ereignisse aus aus einem Ereignisfeld.: (a) Zeigen Sie die Boole’sche Ungleichung:

W(ⁿ∪_i=1A_i) ≤ ⁿ∑_Xi=1 W(Ai)

(b) Zeigen Sie die Bonferroni’sche Ungleichung:

W(ⁿ∩_i=1A_i) ≥ 1- ⁿ∑_Xi=1 W(Ai)

Theorie: Bonferroni-Ungleichungen Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen. Lösung: Zunächst beobachtet man, dass stets

n\i=1Ei =n[i=1Ei

gilt, und zwar nach der De Morgan’sche Regel:

(1\i=1Ai)c =1[i=1Aci , (1[i=1Ai)c =1\i=1Aci

5.) Ein neues Computervirus kann in ein System durch eine E-Mail oder durch das Internet eindringen. Es besteht eine Chance von 30%, daß man das Virus durch eine E-Mail, und eine 40% Chance, daß man es durch das Internet bekommt. Außerdem beträgt die Chance 15%, daß es simultan auf beiden Wegen eindringt. Wie groß ist unter diesen Vorgaben die Wahrscheinlichkeit, daß das Virus in das System gar nicht eindringt?

6.) Formulieren und beweisen Sie das Additionsthorem für drei Ereignisse A, B, C. (Hinweis: Die Gültigkeit des Theorems für zwei Ereignisse darf vorausgesetzt werden.)

W(AvBvC) = W(A) + W(B) +W(C) - W(AnB) - W(AnC) - W(BnC) + W(AnBnC)
Zuerst hab ich mir überlegt wie ich AvBvC noch darstellen kann. Dabei bin ich auf folgenden Ausdruck gekommen:
(A v B v C) = A v (-A n B) v (-A n -B n C)
Danach hab ich mir überlegt wie ich B und C noch darstellen kann.
B = (A n B) v (-A n B)
C = (A n C) v (B n C) v (-A n -B n C) / (A n B n C)
Danach hab ich die Wahrscheinlichkeiten angeschrieben und dann subtrahiert.
W(A v B v C) = W(A) + W(-A n B) + W(-A n -B n C)
W(B) = W(AnB) + W(-A n B)
W(C) = W(AnC) + W(BnC) + W(-A n -B n C) - W(An B n C)


W(A v B v C) = W(A) + W(-A n B) + W(-A n -B n C)
- W(B) = - W(AnB) - W(-A n B)
- W(C) = - W(AnC) - W(BnC) - W(-A n -B n C) + W(An B n C)
__________________________________________________ ______________
W(AvBvC) - W(B) - W(C) = W(A) -W(AnB) - W(AnC) - W(BnC) + W(AnBnC)
So und jetzt noch W(B) und W(C) rübergeben und dann steht der Ausdruck von oben da.
W(AvBvC) = W(A) + W(B) + W(C) -W(AnB) - W(AnC) - W(BnC) + W(AnBnC)

7.) Die 8 Titel auf einer CD werden in zufälliger Reihenfolge abgespielt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dabei kein Titel an der auf der CD angegebenen Stelle wiedergegeben? (Hinweis: Verwenden Sie das Additionstheorem mit Ai = Der i–te Titel wird an i–ter Stelle wiedergegeben.)

@@ Line 1: / Line 1: @@
 ;1.) A, B, C seien drei Ereignisse. Ermitteln Sie möglichst einfache Ausdrücke für die zusammengesetzten Ereignisse, daß von A, B, C:
-:(a) nur A eintritt; (f) keines eintritt;
+:{|
-:(b) A und C, aber nicht B eintritt; (g) höchstens eines eintritt;
+|-------
-:(c) zumindest eines eintritt; (h) höchstens zwei eintreten;
+||(a) nur A eintritt; ||<nowiki>W = A \ (B &cup; C)</nowiki>
-:(d) zumindest zwei eintreten; (i) genau zwei eintreten;
+||(f) keines eintritt; ||<nowiki>W = M \ ( A &cup; B &cup; C)</nowiki>
-:(e) alle drei eintreten; (j) höchstens drei eintreten.
+|-------
+||(b) A und C, aber nicht B eintritt; ||<nowiki>W = (A &cap; C) \ B</nowiki>
+||(g) höchstens eines eintritt; ||<nowiki>W = M \ (A &cap; B &cap; C)</nowiki>
+|-------
+||(c) zumindest eines eintritt; ||<nowiki>W = A &cup; B &cup; C</nowiki>
+||(h) höchstens zwei eintreten; ||<nowiki>W = (A &cap; B) &cup; (A &cap; C) &cap; (B &cup; C)</nowiki>
+|-------
+||(d) zumindest zwei eintreten; ||<nowiki>W = (A &cap; B) &cup; (A &cap; C) &cup; (B &cap; C)</nowiki>
+||(i) genau zwei eintreten; ||<nowiki>W = A &cap; B) &cup; (A &cap; C) &cup; (B &cap; C) \ (A &cap; B &cap; C)</nowiki>
+|-------
+||(e) alle drei eintreten; ||<nowiki>W = (A &cap; B &cap; C)</nowiki>
+||(j) höchstens drei eintreten. ||<nowiki>W = M</nowiki>
+|}
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 ;2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird.
 :(a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1.
+::;Merkmalraum: Die Elemente des Merkmalraums M sind (K = 'Kopf', Z = 'Zahl') . <nowiki>M = { K, ZK, ZZK, ZZZK, ...  }</nowiki>
+:::W(K) = 1/2
+:::W(ZK) = 1/2 * 1/2 = 1/4
+:::W(ZZK) = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8
+:::W(Z<sup>n</sup>K) = (1/2)<sup>n+1</sup>
+:::Für einen Merkmalraum gilt: &Sigma; W(Ai) = 1
+:::Die Elemente W(Z<sup>n</sup>K) stellen eine geometrische Reihe dar, für die bei q < 1 der Grenzwert der Summe gilt:  a<sub>0</sub> * (1/(1-q))
+:::W(M) = 1/2 + (1/2)<sup>2</sup> + (1/2)<sup>3</sup> + ... + (1/2)<sup>n</sup>
+:::W(M) = (1/2) * (1 + 1/2 + (1/2)<sup>2</sup> + ... + (1/2)<sup>(n−1)</sup>) = (1/2) * (1/(1 − 1/2)) = 1/2 * 2/1 = 1
+::;Ereignisfeld: theoretisch ist das Ereignisfeld unbegrenzt. In diskreten <nowiki>E = P(M)</nowiki>
+Die W-Verteilung ordnet jedem dieser Elemente die folgenden Wahrscheinlichkeiten zu: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...
 :(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt.
+:::W = 1/2 + (1/2)<sup>3</sup> + (1/2)<sup>5</sup> + ... + (1/2)<sup>2n+1</sup>
+:::W(M) = (1/2) * (1/(1 − 1/4)) = 1/2 * 4/3 = 4/6 = 2/3
 :(c) Ermitteln Sie allgemein die Wahrscheinlichkeit mit der man öfter als x Mal werfen muß, bis zum ersten Mal Kopf kommt.
+:::W(öfter als x) = 1 - (&Sigma; W(x<sup>n</sup>))
 :(d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R.
+ # wirf eine münze bis kopf kommt
+ WirfKopf <- function() {
+ result<-sample(0:1,1)
+ n<-1
+ while (result != 1) {
+   n<-n+1;
+   result<-sample(0:1,1);
+   }
+ return(n) }
+ # n versuche
+ n <- 1:10000;
+ # vektor für die maximalen würfe bis Kopf kommt
+ # (Klasseneinteilung)
+ xmax <- 1:15;
+ x <- c();
+ # bilde einen vektor mit xmax elementen
+ # und setze alle werte auf 0
+ for (i in xmax) {
+ x <- c(x, 0);
+ }
+ for (i in n) {
+ # a = anzahl der würfe bis kopf kommt
+ a<-WirfKopf()
+ # erhöhe die Anzahl in x[AnzahlBisKopf] um 1
+ x[a] <- x[a] + 1;
+ }
+ # Ausgabe der abs. Häufigkeiten der Würfe bis Kopf
+ print(x)
+ # Berechne die rel Häufigkeiten für x[AnzahlBisKopf]
+ x <- x / length(n);
+ print(x)
+ plot(x, type="l", col="red", main="Wahrscheinlichkeitsverteilung für Anzahl der Würfe bis Kopf kommt");
+  [1] 5016 2453 1305  615  297  155   81   32   23   12    6    2    2    1    0
+  [1] 0.5016 0.2453 0.1305 0.0615 0.0297 0.0155 0.0081 0.0032 0.0023 0.0012 0.0006 0.0002
+  [13] 0.0002 0.0001 0.0000
+[[Image:Statistik ue 2.2.png]]
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@@ Line 26: / Line 97: @@
 :W(<sup>n</sup>&cup;<sub>i=1</sub>A<sub>i</sub>) &le; <sup>n</sup>&sum;<sub>Xi=1</sub> W(Ai)
 </div>
 :(b) Zeigen Sie die Bonferroni’sche Ungleichung:
 <div style="font-size:130%;">
 :W(<sup>n</sup>&cap;<sub>i=1</sub>A<sub>i</sub>) &ge; 1- <sup>n</sup>&sum;<sub>Xi=1</sub> W(Ai)
 </div>
+Theorie: Bonferroni-Ungleichungen
+Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.
+Lösung: Zunächst beobachtet man, dass stets
+:::n\i=1Ei =n[i=1Ei
+:::gilt, und zwar nach der De Morgan’sche Regel:
+:::(1\i=1Ai)c =1[i=1Aci , (1[i=1Ai)c =1\i=1Aci
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 ;5.) Ein neues Computervirus kann in ein System durch eine E-Mail oder durch das Internet eindringen. Es besteht eine Chance von 30%, daß man das Virus durch eine E-Mail, und eine 40% Chance, daß man es durch das Internet bekommt. Außerdem beträgt die Chance 15%, daß es simultan auf beiden Wegen eindringt. Wie groß ist unter diesen Vorgaben die Wahrscheinlichkeit, daß das Virus in das System gar nicht eindringt?
@@ Line 35: / Line 116: @@
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 ;6.) Formulieren und beweisen Sie das Additionsthorem für drei Ereignisse A, B, C. (Hinweis: Die Gültigkeit des Theorems für zwei Ereignisse darf vorausgesetzt werden.)
+<div style="white-space:pre;">
+W(AvBvC) = W(A) + W(B) +W(C) - W(AnB) - W(AnC) - W(BnC) + W(AnBnC)
+Zuerst hab ich mir überlegt wie ich AvBvC noch darstellen kann. Dabei bin ich auf folgenden Ausdruck gekommen:
+(A v B v C) = A v (-A n B) v (-A n -B n C)
+Danach hab ich mir überlegt wie ich B und C noch darstellen kann.
+B = (A n B) v (-A n B)
+C = (A n C) v (B n C) v (-A n -B n C) / (A n B n C)
+Danach hab ich die Wahrscheinlichkeiten angeschrieben und dann subtrahiert.
+W(A v B v C) = W(A) + W(-A n B) + W(-A n -B n C)
+W(B) = W(AnB) + W(-A n B)
+W(C) = W(AnC) + W(BnC) + W(-A n -B n C) - W(An B n C)
+W(A v B v C) = W(A) + W(-A n B) + W(-A n -B n C)
+- W(B) = - W(AnB) - W(-A n B)
+- W(C) = - W(AnC) - W(BnC) - W(-A n -B n C) + W(An B n C)
+__________________________________________________ ______________
+W(AvBvC) - W(B) - W(C) = W(A) -W(AnB) - W(AnC) - W(BnC) + W(AnBnC)
+So und jetzt noch W(B) und W(C) rübergeben und dann steht der Ausdruck von oben da.
+W(AvBvC) = W(A) + W(B) + W(C) -W(AnB) - W(AnC) - W(BnC) + W(AnBnC)
+</div>
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 ;7.) Die 8 Titel auf einer CD werden in zufälliger Reihenfolge abgespielt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dabei kein Titel an der auf der CD angegebenen Stelle wiedergegeben? (Hinweis: Verwenden Sie das Additionstheorem mit Ai = Der i–te Titel wird an i–ter Stelle wiedergegeben.)