User:Zelenka/Statistics/exercises 9.10.2007 - Revision history

Zelenka: /* 3. */

2008-05-24T22:10:08Z

← Older revision		Revision as of 22:10, 24 May 2008
Line 69:		Line 69:

	===3.===		===3.===
-	;Ist x1, . . . , xL eine Binärfolge der Länge L, so heißt die Teilfolge <math>~~x_i~~+1, . . . , ~~x_i~~+k</math> ein Lauf (engl. run) der	+	;Ist x1, . . . , xL eine Binärfolge der Länge L, so heißt die Teilfolge <math>x_{i+1}, . . . , x_{i+k}</math> ein Lauf (engl. run) der
	Länge k, falls:		Länge k, falls:
-	:(1) i = 0 oder <math>x_i \neq ~~x_i~~+1</math>	+	:(1) i = 0 oder <math>x_i \neq x_{i+1}</math>
-	:(2) <math>~~x_i~~+1 = ... = ~~x_i~~+k</math>	+	:(2) <math>x_{i+1} = ... = x_{i+k}</math>
-	:(3) <math>i + k = L</math> oder <math>~~x_i~~+k \neq ~~x_i~~+k+1</math>	+	:(3) <math>i + k = L</math> oder <math>x_{i+k} \neq x_{i+k+1}</math>
	Ist beispielsweise L = 10 und lautet die Binärfolge:		Ist beispielsweise L = 10 und lautet die Binärfolge:
	:::0 0 1 0 0 0 1 1 0 0		:::0 0 1 0 0 0 1 1 0 0

Zelenka: /* 3. */

2008-05-24T16:37:25Z

← Older revision		Revision as of 16:37, 24 May 2008
Line 72:		Line 72:
	Länge k, falls:		Länge k, falls:
	:(1) i = 0 oder <math>x_i \neq x_i+1</math>		:(1) i = 0 oder <math>x_i \neq x_i+1</math>
-	:(2) <math>x_i+1 = ~~· · ·~~ = x_i+k</math>	+	:(2) <math>x_i+1 = ... = x_i+k</math>
-	:(3) <math>i + k = L</math> oder <math>xi+k ~~6= xi~~+k+1</math>	+	:(3) <math>i + k = L</math> oder <math>x_i+k \neq x_i+k+1</math>
	Ist beispielsweise L = 10 und lautet die Binärfolge:		Ist beispielsweise L = 10 und lautet die Binärfolge:
	:::0 0 1 0 0 0 1 1 0 0		:::0 0 1 0 0 0 1 1 0 0

Zelenka: /* 9.10.2007 */

2008-05-24T16:33:52Z

9.10.2007

← Older revision		Revision as of 16:33, 24 May 2008
Line 68:		Line 68:
	[[Image:Statistik ue 2.png]]		[[Image:Statistik ue 2.png]]

-	;3. Ist x1, . . . , xL eine Binärfolge der Länge L, so heißt die Teilfolge xi+1, . . . , xi+k ein Lauf (engl. run) der	+	===3.===
		+	;Ist x1, . . . , xL eine Binärfolge der Länge L, so heißt die Teilfolge <math>x_i+1, . . . , x_i+k</math> ein Lauf (engl. run) der
	Länge k, falls:		Länge k, falls:
-	:(1) i = 0 oder ~~xi 6= xi~~+1	+	:(1) i = 0 oder <math>x_i \neq x_i+1</math>
-	:(2) xi+1 = · · · = xi+k	+	:(2) <math>x_i+1 = · · · = x_i+k</math>
-	:(3) i + k = L oder xi+k 6= xi+k+1	+	:(3) <math>i + k = L</math> oder <math>xi+k 6= xi+k+1</math>
	Ist beispielsweise L = 10 und lautet die Binärfolge:		Ist beispielsweise L = 10 und lautet die Binärfolge:
	:::0 0 1 0 0 0 1 1 0 0		:::0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
Line 119:		Line 120:
	[[Image:Statistik ue 3.png]]		[[Image:Statistik ue 3.png]]

-	;4. [Fortsetzung von Aufgabe 3] Neben der Anzahl der Läufe ist auch die Länge des längsten Laufs von Interesse. Modifizieren Sie das obige Script so, daß zu jeder simulierten Binärfolge die Länge des längsten Laufs bestimmt, die entsprechende Häufigkeitstabelle ermittelt und das Ergebnis in Form eines Stabdiagramms und einer Summenkurve dargestellt wird.	+	===4.===
		+	;[Fortsetzung von Aufgabe 3] Neben der Anzahl der Läufe ist auch die Länge des längsten Laufs von Interesse. Modifizieren Sie das obige Script so, daß zu jeder simulierten Binärfolge die Länge des längsten Laufs bestimmt, die entsprechende Häufigkeitstabelle ermittelt und das Ergebnis in Form eines Stabdiagramms und einer Summenkurve dargestellt wird.
	Hinweis: Nur ganz wenige Änderungen sind erforderlich. In der Funktion muß nur eine Zeile verändert werden (max statt length in der vorletzten Zeile). Der Rest kann nahezu unverändert übernommen werden.		Hinweis: Nur ganz wenige Änderungen sind erforderlich. In der Funktion muß nur eine Zeile verändert werden (max statt length in der vorletzten Zeile). Der Rest kann nahezu unverändert übernommen werden.

Zelenka: User:Zelenka/Statistics/exercises results moved to User:Zelenka/Statistics/exercises 9.10.2007

2007-10-16T09:55:35Z

User:Zelenka/Statistics/exercises results moved to User:Zelenka/Statistics/exercises 9.10.2007

← Older revision

Revision as of 09:55, 16 October 2007

Zelenka: /* 16.10.2007 */

2007-10-16T09:54:51Z

16.10.2007

← Older revision		Revision as of 09:54, 16 October 2007
Line 233:		Line 233:

	[[Image:Statistik ue 8.png]]		[[Image:Statistik ue 8.png]]
-
-	~~==16.10.2007==~~
-	~~;9. Betrachten Sie den Datensatz cpu.dat (vgl. Aufgabe 5)~~
-	~~:(a) Berechnen Sie den~~
-	~~::Mittelwert = sum(x)/length(x) = 48.23333,~~
-	~~::den Median = 1/2(x[30/2]+x[30/2+1]) = 42,5~~
-	~~::und den Modalwert (Modus) = die Klasse 28 bis 42 Sekunden. --> Mittelwert?~~
-	~~:(b) Berechnen Sie die~~
-	~~::Varianz = 703.1506~~
-	~~::die Streuung =~~
-	~~::und den Quartilabstand =~~
-	~~:(c) Berechnen Sie die mittlere absolute Abweichung (MAD)~~
-	~~:: MAD = 20.0151~~
-	~~: *(d) Ermitteln Sie die 5–Zahlen Zusammenfassung und zeichnen Sie einen Boxplot. Hinweis: Die R–Funktionen lauten fivenum() und boxplot().~~
-
-	~~> # ------------ Lageparameter~~
-	~~> #mittelwert~~
-	~~> sum(x)/n~~
-	~~[1] 48.23333~~
-	>
-	~~> median(x) #sort(x)[length(x)/2]~~
-	~~[1] 42.5~~
-	>
-	~~> var(x)~~
-	~~[1] 703.1506~~
-	>
-	~~> #Modus~~
-	~~> ModusCpu<-table(x)~~
-	~~> ModusCpu[ModusCpu==max(ModusCpu)]~~
-	x
-	~~35 36 56 82~~
-	~~2 2 2 2~~
-	>
-	~~> # ------------ Streuparameter~~
-	>
-	~~> #Spannweite~~
-	~~> max(x)-min(x)~~
-	~~[1] 130~~
-	>
-	~~> #Quartilabstand~~
-	~~> quantile(x,p=0.75)-quantile(x,p=0.25)~~
-	~~75%~~
-	24
-	>
-	~~> #Standardabweichung~~
-	~~> sd(x)~~
-	~~[1] 26.51699~~
-	>
-	>
-	~~> #mittlere absolute Abweichung~~
-	~~> mad(x)~~
-	~~[1] 20.0151~~
-	>
-	~~> # ----------- fivenum and boxplot~~
-	~~> fivenum(x)~~
-	~~[1] 9.0 34.0 42.5 59.0 139.0~~
-	~~> boxplot(x)~~
-
-	~~[[Image:Statistik ue 9.png]]~~
-
-	~~;10. Wiederholen Sie Aufgabe 9 für den Datensatz concurrent.dat (vgl. Aufgabe 7).~~
-
-	~~[[Image:Statistik ue 10.png]]~~
-
-	~~;11. Zeigen Sie, daß ein allgemeiner Ausdruck für das p–Quantile auf Basis eines klassierten Datensatzes gegeben~~
-	~~ist wie folgt: Ist Ki = (ui, oi] diejenige Klasse, in die das p–Quantile hineinfällt, so gilt:~~
-	~~xp = ui + p −~~
-	~~i−1~~
-	~~Xj=1~~
-	~~hj! oi − ui~~
-	hi
-
-	~~(hj = relative Klassenhäufigkeit der j–ten Klasse) Überprüfen Sie die Gültigkeit des Ausdrucks an der Berechnung des Medians bzw. des Quartilabstands in Aufgabe 9 oder 10.~~
-
-	~~;12. Anzahl der täglichen (blockierten) Intrusion–Versuche im Verlauf von zwei Wochen:~~
-	~~:56 47 49 37 38 60 50 43 43 59 50 56 54 58~~
-
-	~~Nach einer Änderung der Einstellungen der Firewall lauteten die Zahlen in den folgenden 20 Tagen:~~
-	~~:53 21 32 49 45 38 44 33 32 43 53 46 36 48 39 35 37 36 39 45~~
-	~~Vergleichen Sie die Daten vor und nach der Änderung:~~
-	~~: *(a) Konstruieren Sie Stem-and-Leaf–Plots. Hinweis: Die R–Funktion lautet stem().~~
-	~~:(b) Bestimmen Sie Lage– und Streuungsparameter.~~
-	~~: *(c) Bestimmen Sie die 5-Zahlen–Zusammenfassungen.~~
-	~~: *(d) Zeichnen Sie (parallele) Box-Plots.~~
-	~~:(e) Kommentieren Sie die Ergebnisse.~~
-
-	; *13. Wie in der VO angesprochen, versucht man in der schließenden Statistik (u.a.) den empirisch gegebenen Verteilungen (Histogrammen) theoretische Verteilungen (Dichten) anzupassen. Man versuche dies wahlweise für den Datensatz resistor.dat (Aufgabe 6) oder concurrent.dat (Aufgabe 7) mit der Anpassung
-	~~einer Normaldichte. Für die beiden Parameter dieser Verteilung (μ, �2) nehme man die entsprechenden empirischen Größen (x, s2).~~
-
-	~~;14.~~
-
-	~~:(a) Wieviele verschiedene Passwörter, bestehend aus 8 Zeichen, kann man aus einem Alphabet, bestehend aus 10 Ziffern, 26 Klein– und 26 Großbuchstaben, bilden?~~
-	~~::: m = (10+26+26)<sup>8</sup> = 218 340 105 584 896~~
-
-	:(b) Angenommen, ein Spy–Programm kann pro Sekunde 1 Million Passwörter verarbeiten. Wie lange braucht es für alle möglichen Passwörter? Wie lange braucht es im Durchschnitt, um Ihr persönliches Passwort zu finden?
-	~~::: das Spy Programm benötigt maximal time = m/1000000 = 218 340 105.584896 Sekunden.~~
-	~~::: das Spy Programm findet mein persönliches Passwort im Durchschnitt nach med(time) = (time+1)/2 = 109170053.292448 Sekunden.~~
-
-	~~:(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet das Spy–Programm von (b) innerhalb einer Woche Ihr persönliches Passwort?~~
-	~~::: Die Wahrscheinlichkeit gibt an mit welcher Erwartung ein bestimmtes Ereignis eintreten wird. Der Wertebereich liegt zwischen 0 und 1 [0 - 1].~~
-	~~::: 1 Woche hat 604800 Sekunden.~~
-	~~::: W=1 Woche/m = 604800/218,310<sup>6</sup> = 2,7710<sup>-3</sup>~~
-
-	~~:(d) Beantworten Sie die Fragen (a) bis (c), wenn Großbuchstaben bei der Bildung von Passwörtern nicht verwendet werden.~~
-	~~::: m = (10+26)<sup>8</sup> = 2 821 109 907 456~~
-	~~::: max 2 821 109 Sekunden~~
-	~~::: Durchschnitt: 1 410 555,453728 Sekunden~~
-	~~::: W(1Woche) = 0,214~~
-
-	~~;15. In einem Array der Länge n werden zufällig k (≤ n) Daten abgelegt:~~
-	~~::: Also zunächst mal ein Beispiel: n=10~~
-	~~::: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 oder 2 2 3 - - 4 7 5~~
-	~~:(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt es dabei zu Mehrfachbelegungen?~~
-	~~::: p(n,k) = 1-( n! / ((n-k)! * n<sup>k</sup>)~~
-	~~:(b) Wie groß muß k für n = 100 mindestens sein, damit diese Wahrscheinlichkeit größer als 0.5 (größer als 0.9) ist?~~
-	~~:::~~
-	~~:(c) Beantworten Sie (b) für n = 365. (Bem.: Diesen Fall nennt man auch „Geburtstagsproblem“.)~~
-
-	;16. Eine Variante des „Geburtstagsproblems“ (vgl. Aufgabe 15(c)): Sie wollen jemanden finden, der am selben Tag wie Sie geboren ist. Welche Mindestanzahl von Personen müssen Sie befragen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür etwa 1/2 beträgt? Wieviele, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür mindestens 0.99 sein soll?

Zelenka: /* 16.10.2007 */

2007-10-15T22:23:35Z

16.10.2007

← Older revision		Revision as of 22:23, 15 October 2007
Line 344:		Line 344:
	;15. In einem Array der Länge n werden zufällig k (≤ n) Daten abgelegt:		;15. In einem Array der Länge n werden zufällig k (≤ n) Daten abgelegt:
	::: Also zunächst mal ein Beispiel: n=10		::: Also zunächst mal ein Beispiel: n=10
-	::: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 oder 2 - 2 - 3 - - 4 7 5	+	::: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 oder 2 2 3 - - 4 7 5
	:(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt es dabei zu Mehrfachbelegungen?		:(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt es dabei zu Mehrfachbelegungen?
		+	::: p(n,k) = 1-( n! / ((n-k)! * n<sup>k</sup>)
	:(b) Wie groß muß k für n = 100 mindestens sein, damit diese Wahrscheinlichkeit größer als 0.5 (größer als 0.9) ist?		:(b) Wie groß muß k für n = 100 mindestens sein, damit diese Wahrscheinlichkeit größer als 0.5 (größer als 0.9) ist?
		+	:::
	:(c) Beantworten Sie (b) für n = 365. (Bem.: Diesen Fall nennt man auch „Geburtstagsproblem“.)		:(c) Beantworten Sie (b) für n = 365. (Bem.: Diesen Fall nennt man auch „Geburtstagsproblem“.)

	;16. Eine Variante des „Geburtstagsproblems“ (vgl. Aufgabe 15(c)): Sie wollen jemanden finden, der am selben Tag wie Sie geboren ist. Welche Mindestanzahl von Personen müssen Sie befragen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür etwa 1/2 beträgt? Wieviele, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür mindestens 0.99 sein soll?		;16. Eine Variante des „Geburtstagsproblems“ (vgl. Aufgabe 15(c)): Sie wollen jemanden finden, der am selben Tag wie Sie geboren ist. Welche Mindestanzahl von Personen müssen Sie befragen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür etwa 1/2 beträgt? Wieviele, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür mindestens 0.99 sein soll?

Zelenka: /* 16.10.2007 */

2007-10-15T19:58:41Z

16.10.2007

← Older revision		Revision as of 19:58, 15 October 2007
Line 247:		Line 247:
	:: MAD = 20.0151		:: MAD = 20.0151
	: *(d) Ermitteln Sie die 5–Zahlen Zusammenfassung und zeichnen Sie einen Boxplot. Hinweis: Die R–Funktionen lauten fivenum() und boxplot().		: *(d) Ermitteln Sie die 5–Zahlen Zusammenfassung und zeichnen Sie einen Boxplot. Hinweis: Die R–Funktionen lauten fivenum() und boxplot().
		+
		+	> # ------------ Lageparameter
		+	> #mittelwert
		+	> sum(x)/n
		+	[1] 48.23333
		+	>
		+	> median(x) #sort(x)[length(x)/2]
		+	[1] 42.5
		+	>
		+	> var(x)
		+	[1] 703.1506
		+	>
		+	> #Modus
		+	> ModusCpu<-table(x)
		+	> ModusCpu[ModusCpu==max(ModusCpu)]
		+	x
		+	35 36 56 82
		+	2 2 2 2
		+	>
		+	> # ------------ Streuparameter
		+	>
		+	> #Spannweite
		+	> max(x)-min(x)
		+	[1] 130
		+	>
		+	> #Quartilabstand
		+	> quantile(x,p=0.75)-quantile(x,p=0.25)
		+	75%
		+	24
		+	>
		+	> #Standardabweichung
		+	> sd(x)
		+	[1] 26.51699
		+	>
		+	>
		+	> #mittlere absolute Abweichung
		+	> mad(x)
		+	[1] 20.0151
		+	>
		+	> # ----------- fivenum and boxplot
		+	> fivenum(x)
		+	[1] 9.0 34.0 42.5 59.0 139.0
		+	> boxplot(x)

	[[Image:Statistik ue 9.png]]		[[Image:Statistik ue 9.png]]

	;10. Wiederholen Sie Aufgabe 9 für den Datensatz concurrent.dat (vgl. Aufgabe 7).		;10. Wiederholen Sie Aufgabe 9 für den Datensatz concurrent.dat (vgl. Aufgabe 7).
		+
		+	[[Image:Statistik ue 10.png]]

	;11. Zeigen Sie, daß ein allgemeiner Ausdruck für das p–Quantile auf Basis eines klassierten Datensatzes gegeben		;11. Zeigen Sie, daß ein allgemeiner Ausdruck für das p–Quantile auf Basis eines klassierten Datensatzes gegeben
Line 278:		Line 323:

	;14.		;14.
		+
	:(a) Wieviele verschiedene Passwörter, bestehend aus 8 Zeichen, kann man aus einem Alphabet, bestehend aus 10 Ziffern, 26 Klein– und 26 Großbuchstaben, bilden?		:(a) Wieviele verschiedene Passwörter, bestehend aus 8 Zeichen, kann man aus einem Alphabet, bestehend aus 10 Ziffern, 26 Klein– und 26 Großbuchstaben, bilden?
	::: m = (10+26+26)<sup>8</sup> = 218 340 105 584 896		::: m = (10+26+26)<sup>8</sup> = 218 340 105 584 896
		+
	:(b) Angenommen, ein Spy–Programm kann pro Sekunde 1 Million Passwörter verarbeiten. Wie lange braucht es für alle möglichen Passwörter? Wie lange braucht es im Durchschnitt, um Ihr persönliches Passwort zu finden?		:(b) Angenommen, ein Spy–Programm kann pro Sekunde 1 Million Passwörter verarbeiten. Wie lange braucht es für alle möglichen Passwörter? Wie lange braucht es im Durchschnitt, um Ihr persönliches Passwort zu finden?
-	::: das Spy Programm benötigt maximal s = m/1000000 = ~~218340105~~.584896 Sekunden.	+	::: das Spy Programm benötigt maximal time = m/1000000 = 218 340 105.584896 Sekunden.
-	::: das Spy Programm findet mein persönliches Passwort im Durchschnitt nach med(s) = (s+1)/2 = 109170053.292448 Sekunden.	+	::: das Spy Programm findet mein persönliches Passwort im Durchschnitt nach med(time) = (time+1)/2 = 109170053.292448 Sekunden.
		+
	:(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet das Spy–Programm von (b) innerhalb einer Woche Ihr persönliches Passwort?		:(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet das Spy–Programm von (b) innerhalb einer Woche Ihr persönliches Passwort?
-	::: Die Wahrscheinlichkeit gibt an mit welcher Erwartung ein bestimmtes Ereignis eintreten wird. Der Wertebereich liegt zwischen 0 und 1 [0 - 1].	+	::: Die Wahrscheinlichkeit gibt an mit welcher Erwartung ein bestimmtes Ereignis eintreten wird. Der Wertebereich liegt zwischen 0 und 1 [0 - 1].
-	:::	+	::: 1 Woche hat 604800 Sekunden.
		+	::: W=1 Woche/m = 604800/218,310<sup>6</sup> = 2,7710<sup>-3</sup>
		+
	:(d) Beantworten Sie die Fragen (a) bis (c), wenn Großbuchstaben bei der Bildung von Passwörtern nicht verwendet werden.		:(d) Beantworten Sie die Fragen (a) bis (c), wenn Großbuchstaben bei der Bildung von Passwörtern nicht verwendet werden.
-	::::	+	::: m = (10+26)<sup>8</sup> = 2 821 109 907 456
		+	::: max 2 821 109 Sekunden
		+	::: Durchschnitt: 1 410 555,453728 Sekunden
		+	::: W(1Woche) = 0,214

	;15. In einem Array der Länge n werden zufällig k (≤ n) Daten abgelegt:		;15. In einem Array der Länge n werden zufällig k (≤ n) Daten abgelegt:

Zelenka: /* 16.10.2007 */

2007-10-15T08:44:19Z

16.10.2007

← Older revision		Revision as of 08:44, 15 October 2007
Line 236:		Line 236:
	==16.10.2007==		==16.10.2007==
	;9. Betrachten Sie den Datensatz cpu.dat (vgl. Aufgabe 5)		;9. Betrachten Sie den Datensatz cpu.dat (vgl. Aufgabe 5)
-	:(a) Berechnen Sie den Mittelwert, den Median und den Modalwert (Modus).	+	:(a) Berechnen Sie den
-	:(b) Berechnen Sie die Varianz, die Streuung und den Quartilabstand.	+	::Mittelwert = sum(x)/length(x) = 48.23333,
-	:(c) Berechnen Sie die mittlere absolute Abweichung (MAD).	+	::den Median = 1/2(x[30/2]+x[30/2+1]) = 42,5
-	:*(d) Ermitteln Sie die 5–Zahlen Zusammenfassung und zeichnen Sie einen Boxplot.	+	::und den Modalwert (Modus) = die Klasse 28 bis 42 Sekunden. --> Mittelwert?
-	:Hinweis: Die R–Funktionen lauten fivenum() und boxplot().	+	:(b) Berechnen Sie die
		+	::Varianz = 703.1506
		+	::die Streuung =
		+	::und den Quartilabstand =
		+	:(c) Berechnen Sie die mittlere absolute Abweichung (MAD)
		+	:: MAD = 20.0151
		+	: *(d) Ermitteln Sie die 5–Zahlen Zusammenfassung und zeichnen Sie einen Boxplot. Hinweis: Die R–Funktionen lauten fivenum() und boxplot().
		+
		+	[[Image:Statistik ue 9.png]]

	;10. Wiederholen Sie Aufgabe 9 für den Datensatz concurrent.dat (vgl. Aufgabe 7).		;10. Wiederholen Sie Aufgabe 9 für den Datensatz concurrent.dat (vgl. Aufgabe 7).

Zelenka: /* 9.10.2007 */

2007-10-14T21:13:28Z

9.10.2007

Zelenka: /* 9.10.2007 */

2007-10-14T15:24:04Z

9.10.2007

← Older revision		Revision as of 15:24, 14 October 2007
Line 90:		Line 90:
	Number <- length(diff(Index))		Number <- length(diff(Index))
	return(Number) }		return(Number) }
		+
	#Simulation		#Simulation
	N <- 500		N <- 500
Line 95:		Line 96:
	x <- matrix(rbinom(N*L, 1, 1/2), nrow=N)		x <- matrix(rbinom(N*L, 1, 1/2), nrow=N)
	NumberRuns <- apply(x, 1, RunNumber)		NumberRuns <- apply(x, 1, RunNumber)
		+
	#Häufigkeitstabelle		#Häufigkeitstabelle
	tab1 <- table(NumberRuns)		tab1 <- table(NumberRuns)
Line 104:		Line 106:
	names(nk) <- n1:n2		names(nk) <- n1:n2
	par(mfrow=c(2,1))		par(mfrow=c(2,1))
		+
	#Stabdiagramm		#Stabdiagramm
	barplot(nk/N, axis.lty=1, space=1, xlab="Anzahl der Läufe",		barplot(nk/N, axis.lty=1, space=1, xlab="Anzahl der Läufe",
	main=paste("L = ", L, " Nsim = ", N), col="orange2")		main=paste("L = ", L, " Nsim = ", N), col="orange2")
		+
	#Summenkurve		#Summenkurve
	plot(ecdf(NumberRuns), verticals=TRUE, do.points=FALSE,		plot(ecdf(NumberRuns), verticals=TRUE, do.points=FALSE,
Line 112:		Line 116:
	main="Summenkurve")		main="Summenkurve")
	par(mfrow=c(1,1))		par(mfrow=c(1,1))
		+
		+	[[Image:Statistik ue 3.png]]

	;4. [Fortsetzung von Aufgabe 3] Neben der Anzahl der Läufe ist auch die Länge des längsten Laufs von Interesse. Modifizieren Sie das obige Script so, daß zu jeder simulierten Binärfolge die Länge des längsten Laufs bestimmt, die entsprechende Häufigkeitstabelle ermittelt und das Ergebnis in Form eines Stabdiagramms und einer Summenkurve dargestellt wird.		;4. [Fortsetzung von Aufgabe 3] Neben der Anzahl der Läufe ist auch die Länge des längsten Laufs von Interesse. Modifizieren Sie das obige Script so, daß zu jeder simulierten Binärfolge die Länge des längsten Laufs bestimmt, die entsprechende Häufigkeitstabelle ermittelt und das Ergebnis in Form eines Stabdiagramms und einer Summenkurve dargestellt wird.
	Hinweis: Nur ganz wenige Änderungen sind erforderlich. In der Funktion muß nur eine Zeile verändert werden (max statt length in der vorletzten Zeile). Der Rest kann nahezu unverändert übernommen werden.		Hinweis: Nur ganz wenige Änderungen sind erforderlich. In der Funktion muß nur eine Zeile verändert werden (max statt length in der vorletzten Zeile). Der Rest kann nahezu unverändert übernommen werden.
		+
		+	#Bestimmung der Zahl der Läufe für Binärfolge x
		+	RunNumber <- function(x) {
		+	n <- length(x)
		+	z <- x
		+	z[n+1] <- ifelse(x[n]==0, 1, 0)
		+	y <- abs(diff(z))
		+	Index1 <- c(1:n)
		+	Index <- c(0,Index1[y==1])
		+	'''Number <- max(diff(Index))'''
		+	return(Number) }
		+
		+	#Simulation
		+	N <- 500
		+	L <- 60
		+	x <- matrix(rbinom(N*L, 1, 1/2), nrow=N)
		+	NumberRuns <- apply(x, 1, RunNumber)
		+
		+	#Häufigkeitstabelle
		+	tab1 <- table(NumberRuns)
		+	mr <- as.numeric(names(tab1))
		+	n1 <- min(mr)
		+	n2 <- max(mr)
		+	nk <- numeric(n2-n1+1)
		+	nk[mr-n1+1] <- tab1
		+	names(nk) <- n1:n2
		+	par(mfrow=c(2,1))
		+
		+	#Stabdiagramm
		+	barplot(nk/N, axis.lty=1, space=1, xlab="Anzahl der Läufe",
		+	main=paste("L = ", L, " Nsim = ", N), col="orange2")
		+
		+	#Summenkurve
		+	plot(ecdf(NumberRuns), verticals=TRUE, do.points=FALSE,
		+	xlab="Anzahl der Läufe", ylab="Kum. rel. Häufigk.",
		+	main="Summenkurve")
		+	par(mfrow=c(1,1))
		+
		+	[[Image:Statistik ue 4.png]]

	;5. Um die Effizienz eines Prozessors für eine bestimmte Art von Aufgaben beurteilen zu können, wurden die		;5. Um die Effizienz eines Prozessors für eine bestimmte Art von Aufgaben beurteilen zu können, wurden die
	CPU–Zeiten (Sekunden) für n = 30 zufällig ausgewählte Jobs gemessen (cpu.dat):		CPU–Zeiten (Sekunden) für n = 30 zufällig ausgewählte Jobs gemessen (cpu.dat):
-	2	+
-	70 36 43 69 82 48 34 62 35 15	+	70 36 43 69 82 48 34 62 35 15
-	59 139 46 37 42 30 55 56 36 82	+	59 139 46 37 42 30 55 56 36 82
-	38 89 54 25 35 24 22 9 56 19	+	38 89 54 25 35 24 22 9 56 19
-	(a) Ermitteln Sie eine Häufigkeitstabelle. Nehmen Sie dazu äquidistante Klassen der Breite 14 [Sekunden],	+
-	beginnend bei 0.	+	(a) Ermitteln Sie eine Häufigkeitstabelle. Nehmen Sie dazu äquidistante Klassen der Breite 14 [Sekunden], beginnend bei 0.
	(b) Erstellen Sie auf Basis von (a) das Histogramm der relativen Klassenhäufigkeiten.		(b) Erstellen Sie auf Basis von (a) das Histogramm der relativen Klassenhäufigkeiten.
	(c) Zeichnen Sie auf Basis der gewählten Klasseneinteilung das Summenpolygon.		(c) Zeichnen Sie auf Basis der gewählten Klasseneinteilung das Summenpolygon.
		+
		+	[[Image:Statistik ue 5.png]]
		+
	(d) Wie beurteilen Sie die größte Beobachtung 139 ?		(d) Wie beurteilen Sie die größte Beobachtung 139 ?
		+	:Der Wert 139 ist ein "Ausreisser". Dieser Wert muss daher genauer untersucht werden, ob er durch einen Ablesefehler entstanden ist, die Versuchsbedingungen verändert waren oder tatsächlich so grosse Streuung möglich ist.
		+
	R–Script:		R–Script:
-	cpu <- read.table("cpu.dat", header=TRUE)	+	cpu <- read.table("cpu.dat", header=TRUE)
-	x <- cpu$x	+	x <- cpu$x
-	n <- length(x)	+	n <- length(x)
-	#Histogramm	+
-	breaks <- seq(0,140,by=14)	+	#Histogramm
-	m <- length(breaks)	+	breaks <- seq(0,140,by=14)
-	x.hist <- hist(x, breaks=breaks, prob=TRUE, col="orange2",	+	m <- length(breaks)
-	xlab="Sekunden", main="Histogramm von cpu.dat")	+	x.hist <- hist(x, breaks=breaks, prob=TRUE, col="orange2",
-	(freq <- x.hist$counts)	+	xlab="Sekunden", main="Histogramm von cpu.dat")
-	#Summenpolygon	+	(freq <- x.hist$counts)
-	plot(breaks,c(0,cumsum(freq)/n), type="o", lty=1, pch=19, lwd=2,	+
-	col="orange2", xlab="Sekunden", ylab="Kum. rel. Häufigkeiten",	+	#Summenpolygon
-	main="Summenpolygon")	+	plot(breaks,c(0,cumsum(freq)/n), type="o", lty=1, pch=19, lwd=2,
-	abline(h=c(0,1), lty=2)	+	col="orange2", xlab="Sekunden", ylab="Kum. rel. Häufigkeiten",
		+	main="Summenpolygon")
		+	abline(h=c(0,1), lty=2)

	;6. Der folgende Datensatz enthält Messungen (in Ohm) von 80 Widerständen (resistor.dat):		;6. Der folgende Datensatz enthält Messungen (in Ohm) von 80 Widerständen (resistor.dat):
Line 153:		Line 205:
	:74.6 77.0 72.1 75.2 75.7 74.7 73.6 75.2 76.6 74.6		:74.6 77.0 72.1 75.2 75.7 74.7 73.6 75.2 76.6 74.6
	:(a) Ermitteln und zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion. Hinweis: Nehmen Sie die Funktion ecdf() (= empirical cumulative distribution function).		:(a) Ermitteln und zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion. Hinweis: Nehmen Sie die Funktion ecdf() (= empirical cumulative distribution function).
-	:(b) Stellen Sie die Verteilung der relativen Klassenhäufigkeiten in Form eines Histogramms dar. Nehmen Sie dazu beispielsweise die folgende äquidistante Klasseneinteilung: [69.55, 70.65], (70.65, 71.75], . . . , (79.45, 80.55]	+	:(b) Stellen Sie die Verteilung der relativen Klassenhäufigkeiten in Form eines Histogramms dar. Nehmen Sie dazu beispielsweise die folgende äquidistante Klasseneinteilung:
		+	:[69.55, 70.65], (70.65, 71.75], . . . , (79.45, 80.55]
	Wählen Sie die Darstellung so, daß die Fläche unter dem Histogramm gleich 1 ist (Dichtehistogramm oder flächentreues Histogramm genannt).		Wählen Sie die Darstellung so, daß die Fläche unter dem Histogramm gleich 1 ist (Dichtehistogramm oder flächentreues Histogramm genannt).
	:(c) Zeichnen Sie auf Basis der obigen Klasseneinteilung das Summenpolygon.		:(c) Zeichnen Sie auf Basis der obigen Klasseneinteilung das Summenpolygon.

← Older revision		Revision as of 21:13, 14 October 2007
Line 196:		Line 196:

	;6. Der folgende Datensatz enthält Messungen (in Ohm) von 80 Widerständen (resistor.dat):		;6. Der folgende Datensatz enthält Messungen (in Ohm) von 80 Widerständen (resistor.dat):
-	:74.4 77.3 77.4 74.3 69.6 71.3 72.5 77.4 73.5 76.1	+	74.4 77.3 77.4 74.3 69.6 71.3 72.5 77.4 73.5 76.1
-	:75.6 75.5 73.3 74.3 77.2 75.1 75.1 79.3 75.8 77.1	+	75.6 75.5 73.3 74.3 77.2 75.1 75.1 79.3 75.8 77.1
-	:76.9 75.8 73.3 74.8 74.7 76.4 78.7 78.5 77.4 74.0	+	76.9 75.8 73.3 74.8 74.7 76.4 78.7 78.5 77.4 74.0
-	:73.2 72.3 76.9 76.2 76.3 74.1 77.0 74.1 72.5 72.7	+	73.2 72.3 76.9 76.2 76.3 74.1 77.0 74.1 72.5 72.7
-	:73.6 78.4 77.7 71.6 73.2 76.4 71.8 78.1 75.6 74.0	+	73.6 78.4 77.7 71.6 73.2 76.4 71.8 78.1 75.6 74.0
-	:75.0 77.5 76.4 72.5 72.8 71.8 73.1 75.0 77.7 77.9	+	75.0 77.5 76.4 72.5 72.8 71.8 73.1 75.0 77.7 77.9
-	:76.2 75.0 76.4 76.3 73.1 74.7 76.0 75.6 75.3 79.6	+	76.2 75.0 76.4 76.3 73.1 74.7 76.0 75.6 75.3 79.6
-	:74.6 77.0 72.1 75.2 75.7 74.7 73.6 75.2 76.6 74.6	+	74.6 77.0 72.1 75.2 75.7 74.7 73.6 75.2 76.6 74.6
	:(a) Ermitteln und zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion. Hinweis: Nehmen Sie die Funktion ecdf() (= empirical cumulative distribution function).		:(a) Ermitteln und zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion. Hinweis: Nehmen Sie die Funktion ecdf() (= empirical cumulative distribution function).
	:(b) Stellen Sie die Verteilung der relativen Klassenhäufigkeiten in Form eines Histogramms dar. Nehmen Sie dazu beispielsweise die folgende äquidistante Klasseneinteilung:		:(b) Stellen Sie die Verteilung der relativen Klassenhäufigkeiten in Form eines Histogramms dar. Nehmen Sie dazu beispielsweise die folgende äquidistante Klasseneinteilung:
-	:[69.55, 70.65], (70.65, 71.75], . . . , (79.45, 80.55]	+	::[69.55, 70.65], (70.65, 71.75], . . . , (79.45, 80.55] Wählen Sie die Darstellung so, daß die Fläche unter dem Histogramm gleich 1 ist (Dichtehistogramm oder flächentreues Histogramm genannt).
-	Wählen Sie die Darstellung so, daß die Fläche unter dem Histogramm gleich 1 ist (Dichtehistogramm oder flächentreues Histogramm genannt).	+
	:(c) Zeichnen Sie auf Basis der obigen Klasseneinteilung das Summenpolygon.		:(c) Zeichnen Sie auf Basis der obigen Klasseneinteilung das Summenpolygon.
	:(d) Nehmen Sie andere Klasseneinteilungen und kommentieren Sie die Ergebnisse. Ändert sich der Eindruck hinsichtlich der Form der Verteilung?		:(d) Nehmen Sie andere Klasseneinteilungen und kommentieren Sie die Ergebnisse. Ändert sich der Eindruck hinsichtlich der Form der Verteilung?
		+	::Wenn man die Klasseneinteilung zu fein macht, werden die Balken unterbrochen, das Diagramm "ausgefranst".
		+
		+	[[Image:Statistik ue 6.png]]

	;7. Ein Netzwerkprovider untersucht die Belastung seines Netzwerks. Dazu wird an 50 Stellen im Netz die		;7. Ein Netzwerkprovider untersucht die Belastung seines Netzwerks. Dazu wird an 50 Stellen im Netz die
	Anzahl (in 1000 Personen) der gleichzeitigen User bestimmt (concurrent.dat):		Anzahl (in 1000 Personen) der gleichzeitigen User bestimmt (concurrent.dat):
-	:17.2 22.1 18.5 17.2 18.6 14.8 21.7 15.8 16.3 22.8	+	17.2 22.1 18.5 17.2 18.6 14.8 21.7 15.8 16.3 22.8
-	:24.1 13.3 16.2 17.5 19.0 23.9 14.8 22.2 21.7 20.7	+	24.1 13.3 16.2 17.5 19.0 23.9 14.8 22.2 21.7 20.7
-	:13.5 15.8 13.1 16.1 21.9 23.9 19.3 12.0 19.9 19.4	+	13.5 15.8 13.1 16.1 21.9 23.9 19.3 12.0 19.9 19.4
-	:15.4 16.7 19.5 16.2 16.9 17.1 20.2 13.4 19.8 17.7	+	15.4 16.7 19.5 16.2 16.9 17.1 20.2 13.4 19.8 17.7
-	:19.7 18.7 17.6 15.9 15.2 17.1 15.0 18.8 21.6 11.9	+	19.7 18.7 17.6 15.9 15.2 17.1 15.0 18.8 21.6 11.9
	:(a) Ermitteln und zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion.		:(a) Ermitteln und zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion.
	:(b) Stellen Sie die Verteilung der relativen Klassenhäufigkeiten in Form eines Histogramms dar.		:(b) Stellen Sie die Verteilung der relativen Klassenhäufigkeiten in Form eines Histogramms dar.
		+
		+	[[Image:Statistik ue 7.png]]

	;8. Betrachten Sie die folgenden drei Datensätze (threesets.dat):		;8. Betrachten Sie die folgenden drei Datensätze (threesets.dat):
Line 227:		Line 231:
	:(a) Zeichnen Sie zu jedem Datensatz ein Histogramm und bestimmen Sie, ob die Verteilung rechtsschief, linksschief oder (annähernd) symmetrisch ist.		:(a) Zeichnen Sie zu jedem Datensatz ein Histogramm und bestimmen Sie, ob die Verteilung rechtsschief, linksschief oder (annähernd) symmetrisch ist.
	:(b) Berechnen Sie zu jedem Datensatz den Mittelwert und den Median. Unterstützen diese Werte die Ergebnisse von (a)? Wie?		:(b) Berechnen Sie zu jedem Datensatz den Mittelwert und den Median. Unterstützen diese Werte die Ergebnisse von (a)? Wie?
		+
		+	[[Image:Statistik ue 8.png]]

	==16.10.2007==		==16.10.2007==