User:Zelenka/Statistics/exercises 30.10.2007 - Revision history

Zelenka at 13:13, 30 October 2007

2007-10-30T13:13:17Z

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	:W(<sup>n</sup>∪<sub>i=1</sub>A<sub>i</sub>) ≤ <sup>n</sup>∑<sub>Xi=1</sub> W(Ai)		:W(<sup>n</sup>∪<sub>i=1</sub>A<sub>i</sub>) ≤ <sup>n</sup>∑<sub>Xi=1</sub> W(Ai)
	</div>		</div>
		+
	:(b) Zeigen Sie die Bonferroni’sche Ungleichung:		:(b) Zeigen Sie die Bonferroni’sche Ungleichung:
	<div style="font-size:130%;">		<div style="font-size:130%;">
	:W(<sup>n</sup>∩<sub>i=1</sub>A<sub>i</sub>) ≥ 1- <sup>n</sup>∑<sub>Xi=1</sub> W(Ai)		:W(<sup>n</sup>∩<sub>i=1</sub>A<sub>i</sub>) ≥ 1- <sup>n</sup>∑<sub>Xi=1</sub> W(Ai)
	</div>		</div>
		+
		+	Theorie: Bonferroni-Ungleichungen
		+	Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.
		+	Lösung: Zunächst beobachtet man, dass stets
		+	:::n\i=1Ei =n[i=1Ei
		+	:::gilt, und zwar nach der De Morgan’sche Regel:
		+	:::(1\i=1Ai)c =1[i=1Aci , (1[i=1Ai)c =1\i=1Aci
		+
		+
	----		----
	;5.) Ein neues Computervirus kann in ein System durch eine E-Mail oder durch das Internet eindringen. Es besteht eine Chance von 30%, daß man das Virus durch eine E-Mail, und eine 40% Chance, daß man es durch das Internet bekommt. Außerdem beträgt die Chance 15%, daß es simultan auf beiden Wegen eindringt. Wie groß ist unter diesen Vorgaben die Wahrscheinlichkeit, daß das Virus in das System gar nicht eindringt?		;5.) Ein neues Computervirus kann in ein System durch eine E-Mail oder durch das Internet eindringen. Es besteht eine Chance von 30%, daß man das Virus durch eine E-Mail, und eine 40% Chance, daß man es durch das Internet bekommt. Außerdem beträgt die Chance 15%, daß es simultan auf beiden Wegen eindringt. Wie groß ist unter diesen Vorgaben die Wahrscheinlichkeit, daß das Virus in das System gar nicht eindringt?
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	----		----
	;6.) Formulieren und beweisen Sie das Additionsthorem für drei Ereignisse A, B, C. (Hinweis: Die Gültigkeit des Theorems für zwei Ereignisse darf vorausgesetzt werden.)		;6.) Formulieren und beweisen Sie das Additionsthorem für drei Ereignisse A, B, C. (Hinweis: Die Gültigkeit des Theorems für zwei Ereignisse darf vorausgesetzt werden.)
		+	<div style="white-space:pre;">
		+	W(AvBvC) = W(A) + W(B) +W(C) - W(AnB) - W(AnC) - W(BnC) + W(AnBnC)
		+
		+	Zuerst hab ich mir überlegt wie ich AvBvC noch darstellen kann. Dabei bin ich auf folgenden Ausdruck gekommen:
		+
		+	(A v B v C) = A v (-A n B) v (-A n -B n C)
		+
		+	Danach hab ich mir überlegt wie ich B und C noch darstellen kann.
		+
		+	B = (A n B) v (-A n B)
		+	C = (A n C) v (B n C) v (-A n -B n C) / (A n B n C)
		+
		+	Danach hab ich die Wahrscheinlichkeiten angeschrieben und dann subtrahiert.
		+
		+	W(A v B v C) = W(A) + W(-A n B) + W(-A n -B n C)
		+	W(B) = W(AnB) + W(-A n B)
		+	W(C) = W(AnC) + W(BnC) + W(-A n -B n C) - W(An B n C)
		+
		+
		+	W(A v B v C) = W(A) + W(-A n B) + W(-A n -B n C)
		+	- W(B) = - W(AnB) - W(-A n B)
		+	- W(C) = - W(AnC) - W(BnC) - W(-A n -B n C) + W(An B n C)
		+	__________________________________________________ ______________
		+	W(AvBvC) - W(B) - W(C) = W(A) -W(AnB) - W(AnC) - W(BnC) + W(AnBnC)
		+
		+	So und jetzt noch W(B) und W(C) rübergeben und dann steht der Ausdruck von oben da.
		+
		+	W(AvBvC) = W(A) + W(B) + W(C) -W(AnB) - W(AnC) - W(BnC) + W(AnBnC)
		+
		+	</div>

	----		----
	;7.) Die 8 Titel auf einer CD werden in zufälliger Reihenfolge abgespielt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dabei kein Titel an der auf der CD angegebenen Stelle wiedergegeben? (Hinweis: Verwenden Sie das Additionstheorem mit Ai = Der i–te Titel wird an i–ter Stelle wiedergegeben.)		;7.) Die 8 Titel auf einer CD werden in zufälliger Reihenfolge abgespielt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dabei kein Titel an der auf der CD angegebenen Stelle wiedergegeben? (Hinweis: Verwenden Sie das Additionstheorem mit Ai = Der i–te Titel wird an i–ter Stelle wiedergegeben.)

Zelenka at 11:55, 30 October 2007

2007-10-30T11:55:33Z

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	;2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird.		;2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird.
		+
	:(a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1.		:(a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1.
-	::;Merkmalraum:<nowiki>M = { 0, 1 }</nowiki>	+	::;Merkmalraum: Die Elemente des Merkmalraums M sind (K = 'Kopf', Z = 'Zahl') . <nowiki>M = { K, ZK, ZZK, ZZZK, ... }</nowiki>
-	:::<~~nowiki~~>E = ~~{ 0~~, 1 }</nowiki>	+	:::W(K) = 1/2
		+	:::W(ZK) = 1/2 * 1/2 = 1/4
		+	:::W(ZZK) = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8
		+	:::W(Z<sup>n</sup>K) = (1/2)<sup>n+1</sup>
		+	:::Für einen Merkmalraum gilt: Σ W(Ai) = 1
		+	:::Die Elemente W(Z<sup>n</sup>K) stellen eine geometrische Reihe dar, für die bei q < 1 der Grenzwert der Summe gilt: a<sub>0</sub> * (1/(1-q))
		+	:::W(M) = 1/2 + (1/2)<sup>2</sup> + (1/2)<sup>3</sup> + ... + (1/2)<sup>n</sup>
		+	:::W(M) = (1/2) * (1 + 1/2 + (1/2)<sup>2</sup> + ... + (1/2)<sup>(n−1)</sup>) = (1/2) * (1/(1 − 1/2)) = 1/2 * 2/1 = 1
		+	::;Ereignisfeld: theoretisch ist das Ereignisfeld unbegrenzt. In diskreten <nowiki>E = P(M)</nowiki>
		+	Die W-Verteilung ordnet jedem dieser Elemente die folgenden Wahrscheinlichkeiten zu: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...
		+
	:(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt.		:(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt.
-	:::~~<nowiki>~~W = </~~nowiki~~>	+	:::W = 1/2 + (1/2)<sup>3</sup> + (1/2)<sup>5</sup> + ... + (1/2)<sup>2n+1</sup>
		+	:::W(M) = (1/2) * (1/(1 − 1/4)) = 1/2 * 4/3 = 4/6 = 2/3
		+
	:(c) Ermitteln Sie allgemein die Wahrscheinlichkeit mit der man öfter als x Mal werfen muß, bis zum ersten Mal Kopf kommt.		:(c) Ermitteln Sie allgemein die Wahrscheinlichkeit mit der man öfter als x Mal werfen muß, bis zum ersten Mal Kopf kommt.
-	:::~~<nowiki>~~W = </~~nowiki~~>	+	:::W(öfter als x) = 1 - (Σ W(x<sup>n</sup>))
		+
	:(d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R.		:(d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R.

Zelenka at 10:43, 30 October 2007

2007-10-30T10:43:37Z

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Line 2:		Line 2:
	:{\|		:{\|
	\|-------		\|-------
-	\|\|(a) nur A eintritt; \|\|<nowiki>W(A) ~~= \|A\| / \|M\|~~</nowiki> \|\|(f) keines eintritt; \|\|<nowiki>W~~(A)~~ = ~~1 -~~ (\|A~~\| / \|M\|~~)</nowiki>	+	\|\|(a) nur A eintritt; \|\|<nowiki>W = A \ (B ∪ C)</nowiki>
		+	\|\|(f) keines eintritt; \|\|<nowiki>W = M \ ( A ∪ B ∪ C)</nowiki>
	\|-------		\|-------
-	\|\|(b) A und C, aber nicht B eintritt; \|\|<nowiki>W = W(A~~)W(~~C)(1-W(B))</nowiki> \|\|(g) höchstens eines eintritt; \|\|<nowiki>W = </nowiki>	+	\|\|(b) A und C, aber nicht B eintritt; \|\|<nowiki>W = (A ∩ C) \ B</nowiki>
		+	\|\|(g) höchstens eines eintritt; \|\|<nowiki>W = M \ (A ∩ B ∩ C)</nowiki>
	\|-------		\|-------
-	\|\|(c) zumindest eines eintritt; \|\|<nowiki>W = ~~1-((1-W(~~A~~))(1-W(~~B~~))(1-W(~~C~~)))~~</nowiki> \|\|(h) höchstens zwei eintreten; \|\|<nowiki>W = </nowiki>	+	\|\|(c) zumindest eines eintritt; \|\|<nowiki>W = A ∪ B ∪ C</nowiki>
		+	\|\|(h) höchstens zwei eintreten; \|\|<nowiki>W = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∩ (B ∪ C)</nowiki>
	\|-------		\|-------
-	\|\|(d) zumindest zwei eintreten; \|\|<nowiki>W = (A &~~and~~; B) &or; (A &~~and~~; C) &or; (B &~~and; C) &or; (A &and; B &and~~; C)</nowiki>	+	\|\|(d) zumindest zwei eintreten; \|\|<nowiki>W = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)</nowiki>
-	\|\|(i) genau zwei eintreten; \|\|<nowiki>W = (A &~~and~~; B) &or; (A &~~and~~; C) &or; (B &~~and~~; C)</nowiki>	+	\|\|(i) genau zwei eintreten; \|\|<nowiki>W = A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) \ (A ∩ B ∩ C)</nowiki>
	\|-------		\|-------
-	\|\|(e) alle drei eintreten; \|\|<nowiki>W = (A &~~and~~; B &~~and~~; C)</nowiki> \|\|(j) höchstens drei eintreten. \|\|<nowiki>W = </nowiki>	+	\|\|(e) alle drei eintreten; \|\|<nowiki>W = (A ∩ B ∩ C)</nowiki>
		+	\|\|(j) höchstens drei eintreten. \|\|<nowiki>W = M</nowiki>
	\|}		\|}
	----		----
	;2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird.		;2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird.
	:(a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1.		:(a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1.
-	:::<nowiki>M = { 0, 1 }</nowiki>	+	::;Merkmalraum:<nowiki>M = { 0, 1 }</nowiki>
	:::<nowiki>E = { 0, 1 }</nowiki>		:::<nowiki>E = { 0, 1 }</nowiki>
	:(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt.		:(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt.
Line 23:		Line 27:
	:::<nowiki>W = </nowiki>		:::<nowiki>W = </nowiki>
	:(d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R.		:(d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R.
		+
		+	# wirf eine münze bis kopf kommt
		+	WirfKopf <- function() {
		+	result<-sample(0:1,1)
		+	n<-1
		+	while (result != 1) {
		+	n<-n+1;
		+	result<-sample(0:1,1);
		+	}
		+	return(n) }
		+
		+	# n versuche
		+	n <- 1:10000;
		+	# vektor für die maximalen würfe bis Kopf kommt
		+	# (Klasseneinteilung)
		+	xmax <- 1:15;
		+	x <- c();
		+	# bilde einen vektor mit xmax elementen
		+	# und setze alle werte auf 0
		+	for (i in xmax) {
		+	x <- c(x, 0);
		+	}
		+	for (i in n) {
		+	# a = anzahl der würfe bis kopf kommt
		+	a<-WirfKopf()
		+	# erhöhe die Anzahl in x[AnzahlBisKopf] um 1
		+	x[a] <- x[a] + 1;
		+	}
		+	# Ausgabe der abs. Häufigkeiten der Würfe bis Kopf
		+	print(x)
		+
		+	# Berechne die rel Häufigkeiten für x[AnzahlBisKopf]
		+	x <- x / length(n);
		+	print(x)
		+
		+	plot(x, type="l", col="red", main="Wahrscheinlichkeitsverteilung für Anzahl der Würfe bis Kopf kommt");
		+
		+	[1] 5016 2453 1305 615 297 155 81 32 23 12 6 2 2 1 0
		+
		+	[1] 0.5016 0.2453 0.1305 0.0615 0.0297 0.0155 0.0081 0.0032 0.0023 0.0012 0.0006 0.0002
		+	[13] 0.0002 0.0001 0.0000
		+	[[Image:Statistik ue 2.2.png]]

	----		----

Zelenka at 15:22, 23 October 2007

2007-10-23T15:22:15Z

← Older revision		Revision as of 15:22, 23 October 2007
Line 1:		Line 1:
	;1.) A, B, C seien drei Ereignisse. Ermitteln Sie möglichst einfache Ausdrücke für die zusammengesetzten Ereignisse, daß von A, B, C:		;1.) A, B, C seien drei Ereignisse. Ermitteln Sie möglichst einfache Ausdrücke für die zusammengesetzten Ereignisse, daß von A, B, C:
-	:(a) nur A eintritt; (f) keines eintritt;	+	:{\|
-	:(b) A und C, aber nicht B eintritt; (g) höchstens eines eintritt;	+	\|-------
-	:(c) zumindest eines eintritt; (h) höchstens zwei eintreten;	+	\|\|(a) nur A eintritt; \|\|<nowiki>W(A) = \|A\| / \|M\|</nowiki> \|\|(f) keines eintritt; \|\|<nowiki>W(A) = 1 - (\|A\| / \|M\|)</nowiki>
-	:(d) zumindest zwei eintreten; (i) genau zwei eintreten;	+	\|-------
-	:(e) alle drei eintreten; (j) höchstens drei eintreten.	+	\|\|(b) A und C, aber nicht B eintritt; \|\|<nowiki>W = W(A)W(C)(1-W(B))</nowiki> \|\|(g) höchstens eines eintritt; \|\|<nowiki>W = </nowiki>
-		+	\|-------
		+	\|\|(c) zumindest eines eintritt; \|\|<nowiki>W = 1-((1-W(A))(1-W(B))(1-W(C)))</nowiki> \|\|(h) höchstens zwei eintreten; \|\|<nowiki>W = </nowiki>
		+	\|-------
		+	\|\|(d) zumindest zwei eintreten; \|\|<nowiki>W = (A &and; B) &or; (A &and; C) &or; (B &and; C) &or; (A &and; B &and; C)</nowiki>
		+	\|\|(i) genau zwei eintreten; \|\|<nowiki>W = (A &and; B) &or; (A &and; C) &or; (B &and; C)</nowiki>
		+	\|-------
		+	\|\|(e) alle drei eintreten; \|\|<nowiki>W = (A &and; B &and; C)</nowiki> \|\|(j) höchstens drei eintreten. \|\|<nowiki>W = </nowiki>
		+	\|}
	----		----
	;2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird.		;2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird.
	:(a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1.		:(a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1.
		+	:::<nowiki>M = { 0, 1 }</nowiki>
		+	:::<nowiki>E = { 0, 1 }</nowiki>
	:(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt.		:(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt.
		+	:::<nowiki>W = </nowiki>
	:(c) Ermitteln Sie allgemein die Wahrscheinlichkeit mit der man öfter als x Mal werfen muß, bis zum ersten Mal Kopf kommt.		:(c) Ermitteln Sie allgemein die Wahrscheinlichkeit mit der man öfter als x Mal werfen muß, bis zum ersten Mal Kopf kommt.
		+	:::<nowiki>W = </nowiki>
	:(d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R.		:(d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R.

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2007-10-23T14:45:13Z

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;1.) A, B, C seien drei Ereignisse. Ermitteln Sie möglichst einfache Ausdrücke für die zusammengesetzten Ereignisse, daß von A, B, C:
:(a) nur A eintritt; (f) keines eintritt;
:(b) A und C, aber nicht B eintritt; (g) höchstens eines eintritt;
:(c) zumindest eines eintritt; (h) höchstens zwei eintreten;
:(d) zumindest zwei eintreten; (i) genau zwei eintreten;
:(e) alle drei eintreten; (j) höchstens drei eintreten.

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;2.) Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ geworfen wird.
:(a) Bestimmen Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (M, E,W) und zeigen Sie, daß W(M) = 1.
:(b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, daß der erste Kopf bei einem ungeraden Wurf kommt.
:(c) Ermitteln Sie allgemein die Wahrscheinlichkeit mit der man öfter als x Mal werfen muß, bis zum ersten Mal Kopf kommt.
:(d) Simulieren Sie das Experiment auf Basis von R.

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;3.) Der Merkmalraum M bestehe aus allen Punkten, die in einem Quadrat mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) liegen. Es sei W(A) = R RA dx dy.
:(a) Zeigen Sie, daß auf diese Weise eine W–Verteilung definiert wird. (*Wie lautet ein passendes Ereignisfeld?)
:(b) Bestimmen Sie W(A1) für A1 = {(x, y) : 0 < x < y < 1}.
:(c) Bestimmen Sie W(A2) für A2 = {(x, y) : 0 < x = y < 1}.
:(d) Bestimmen Sie W(A3) für A3 = {(x, y) : 0 < x/2 � y � 3x/2 < 1}.

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;4. Ai, i = 1, . . . , n, seien Ereignisse aus aus einem Ereignisfeld.
:(a) Zeigen Sie die Boole’sche Ungleichung:
<div style="font-size:130%;">
:W(n∪i=1Ai) ≤ n∑Xi=1 W(Ai)
</div>
:(b) Zeigen Sie die Bonferroni’sche Ungleichung:
<div style="font-size:130%;">
:W(n∩i=1Ai) ≥ 1- n∑Xi=1 W(Ai)
</div>
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;5.) Ein neues Computervirus kann in ein System durch eine E-Mail oder durch das Internet eindringen. Es besteht eine Chance von 30%, daß man das Virus durch eine E-Mail, und eine 40% Chance, daß man es durch das Internet bekommt. Außerdem beträgt die Chance 15%, daß es simultan auf beiden Wegen eindringt. Wie groß ist unter diesen Vorgaben die Wahrscheinlichkeit, daß das Virus in das System gar nicht eindringt?

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;6.) Formulieren und beweisen Sie das Additionsthorem für drei Ereignisse A, B, C. (Hinweis: Die Gültigkeit des Theorems für zwei Ereignisse darf vorausgesetzt werden.)

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;7.) Die 8 Titel auf einer CD werden in zufälliger Reihenfolge abgespielt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dabei kein Titel an der auf der CD angegebenen Stelle wiedergegeben? (Hinweis: Verwenden Sie das Additionstheorem mit Ai = Der i–te Titel wird an i–ter Stelle wiedergegeben.)