Zelenka at 16:20, 10 December 2007

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	;(a) Ermitteln Sie – in Tabellenform – die gemeinsame Verteilung von (X, Y ).		;(a) Ermitteln Sie – in Tabellenform – die gemeinsame Verteilung von (X, Y ).
	;(b) Ermitteln Sie die Randverteilungen von X und Y .		;(b) Ermitteln Sie die Randverteilungen von X und Y .
-	;(c) Intuitiv: Sind X und Y „unabhängig“ ?	+	;(c) <nowiki>Intuitiv: Sind X und Y „unabhängig“ ?</nowiki>

Zelenka: New page: ;3.35) *(a) Zeigen Sie: Ist X eine auf den nichtnegativen ganzen Zahlen diskret verteilte sG mit Verteilungsfunktion F, so gilt: :::E(X) = ∑_x=0^∞<...

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New page: ;3.35) <nowiki>*(a) Zeigen Sie: Ist X eine auf den nichtnegativen ganzen Zahlen diskret verteilte sG mit Verteilungsfunktion F, so gilt:</nowiki> :::E(X) = ∑x=0∞<...

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;3.35) <nowiki>*(a) Zeigen Sie: Ist X eine auf den nichtnegativen ganzen Zahlen diskret verteilte sG mit Verteilungsfunktion F, so gilt:</nowiki>
:::E(X) = ∑x=0∞ (1 − F(x))
:(Was bedeutet diese Beziehung geometrisch?)
;(b) Berechnen Sie mit Hilfe von (a) den Erwartungswert einer geometrisch verteilten sG, X ~ Gp, mit Wahrscheinlichkeitsfunktion
:::pX(x) = p (1 − p)x−1, x = 1, 2, 3, . . .

;3.37) bestimmen Sie den Erwartungswert der stochastischen Grösse von Aufgabe 2

;3.41) bestimmen Sie allgemein E(Xk) (k ∈ N) fü X ~ Ua,b und mit Hilfe des Resultats die Varianz von X

;3.44) Der Radius X eines Kreises sei eine sG mit Dichte f(x) = e−x I(0,∞)(x) (Ex1–Verteilung):
;(a) Zeigen Sie, daß E(Xk) = k! für k ∈ N.
;(b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Kreisfläche A = X2*Π�.
;(c) Berechnen Sie die Varianz der Kreisfläche.

;3.47) Die sG X sei uniform verteilt auf (−Π/2, Π/2). Bestimmen Sie die Verteilung (Dichte) von Y = sin X. Verwenden Sie dazu den Transformationssatz für Dichten. Stellen Sie die Dichte von Y graphisch dar.

;4.3) Eine (symmetrische) Münze wird 3 Mal geworfen. Die sG X sei die Zahl der Köpfe und die sG Y sei die Zahl der Runs (vgl. Aufgabe 1.3).
;(a) Ermitteln Sie – in Tabellenform – die gemeinsame Verteilung von (X, Y ).
;(b) Ermitteln Sie die Randverteilungen von X und Y .
;(c) Intuitiv: Sind X und Y „unabhängig“ ?

;4.9) Die gemeinsame Dichte von (X, Y ) sei gegeben durch: f(x, y) = C(x2 + y) I(−1,1)(x) I(0,1)(y)
;(a) Bestimmen Sie die Konstante C und stellen Sie die Dichte graphisch dar.
;(b) Bestimmen Sie die beiden Randdichten und stellen Sie sie graphisch dar.

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