User:Zelenka/Statistics/exercises 27.11.2007

20) Die sG U sei auf dem Intervall (0, 1) stetig uniform verteilt. Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion und die Dichte der transformierten sG X = a + (b − a)U, a < b.

21) Die Kilometerleistung eines Autos bevor die Batterie defekt wird, sei exponentialverteilt mit τ = 10000 km. Jemand möchte eine Reise über 5000 km antreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Reise beendet werden kann, ohne die Batterie zu ersetzen? Wie lang darf eine Reise höchstens sein, daß sie mit 90% Wahrscheinlichkeit beendet werden kann, ohne die Batterie ersetzen zu müssen?

23) Zeigen Sie die Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung, d.h. zeigen Sie für X ∼ Ex_τ: W{X > x + y|X > x} = W{X > y}, x, y > 0
Wie läßt sich diese Beziehung interpretieren? (Hinweis: X sei z.B. die Lebensdauer einer elektronischen Komponente, etwa einer Diode.)
Zeigen Sie, daß die Ex–Verteilungen die einzigen stetigen Verteilungen (auf R+) mit dieser Eigenschaft sind.

26) Die Lebensdauer eines Monitors sei eine normalverteilte sG mit μ = 8.2 Jahre und σ = 1.4 Jahre.
(a) Welcher Anteil solcher Monitore funktioniert länger als 10 Jahre, nicht länger als 5 Jahre, zwischen 5 und 10 Jahren?
(b) Bestimmen Sie das 10%–Quantile der Lebensdauer. Wie läßt sich dieser Wert interpretieren?
(c) Sie kaufen einen 3 Jahre alten gebrauchten Monitor. Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert er noch länger als 5 Jahre?
*(c) Hat die Normalverteilung die Eigenschaft der „Gedächtnislosigkeit“ (vgl. Aufgabe 23)?

29) Die sG X sei χ²–verteilt mit 8 Freiheitsgraden. Bestimmen Sie c und d so, daß W{c < X < d} = 0.95. Ist die Lösung eindeutig? Falls ’nein’, finden Sie zumindest zwei Lösungen.

31) Ein Job wird an einen Drucker geschickt. X sei die Wartezeit, bevor der Drucker zu drucken beginnt. Mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ist der Job der erste in der Warteschlange und wird sofort gedruckt; in diesem Fall ist X = 0. Möglicherweise ist der Job zwar der erste in der Warteschlange, aber der Drucker benötigt noch eine gewisse Zeit zum Aufwärmen, z.B. 20 Sekunden; in diesem Fall gilt X = 20. Ist der Job nicht der erste in derWarteschlange, hängt dieWartezeit davon ab, wie lange es dauert, bis die anderen Jobs abgearbeitet sind. In diesem Fall folgt die Wartezeit einer stetigen Verteilung mit Dichte f(x). Bestimmen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von X, wenn