User:Zelenka/Statistics/exercises 11.12.2007

From eqqon

3.35) *(a) Zeigen Sie: Ist X eine auf den nichtnegativen ganzen Zahlen diskret verteilte sG mit Verteilungsfunktion F, so gilt:

E(X) = ∑_x=0^∞ (1 − F(x))

(Was bedeutet diese Beziehung geometrisch?)

(b) Berechnen Sie mit Hilfe von (a) den Erwartungswert einer geometrisch verteilten sG, X ~ G_p, mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

p_X(x) = p (1 − p)^x−1, x = 1, 2, 3, . . .

3.37) bestimmen Sie den Erwartungswert der stochastischen Grösse von Aufgabe 2

3.41) bestimmen Sie allgemein E(X^k) (k ∈ N) fü X ~ U_a,b und mit Hilfe des Resultats die Varianz von X

3.44) Der Radius X eines Kreises sei eine sG mit Dichte f(x) = e^−x I_(0,∞)(x) (Ex₁–Verteilung)

(a) Zeigen Sie, daß E(X^k) = k! für k ∈ N.

(b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Kreisfläche A = X²*Π�.

(c) Berechnen Sie die Varianz der Kreisfläche.

3.47) Die sG X sei uniform verteilt auf (−Π/2, Π/2). Bestimmen Sie die Verteilung (Dichte) von Y = sin X. Verwenden Sie dazu den Transformationssatz für Dichten. Stellen Sie die Dichte von Y graphisch dar.

4.3) Eine (symmetrische) Münze wird 3 Mal geworfen. Die sG X sei die Zahl der Köpfe und die sG Y sei die Zahl der Runs (vgl. Aufgabe 1.3).

(a) Ermitteln Sie – in Tabellenform – die gemeinsame Verteilung von (X, Y ).

(b) Ermitteln Sie die Randverteilungen von X und Y .

(c) Intuitiv: Sind X und Y „unabhängig“ ?

4.9) Die gemeinsame Dichte von (X, Y ) sei gegeben durch

f(x, y) = C(x² + y) I_(−1,1)(x) I_(0,1)(y)

(a) Bestimmen Sie die Konstante C und stellen Sie die Dichte graphisch dar.

(b) Bestimmen Sie die beiden Randdichten und stellen Sie sie graphisch dar.